Campo magnetico di filo infinito

[DavideGenova1]

Sia \(\boldsymbol{l}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3\) la parametrizzazione regolare a tratti di una curva infinitamente lunga $\gamma$. Definiamo$$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x})=\int_\gamma\frac{d\boldsymbol{l}\times(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{l})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{l}\|^3}=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\boldsymbol{l}'(t)\times(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{l}(t))}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{l}(t)\|^3}dt.$$Un'interpretazione fisica dell'integrale è che \(\boldsymbol{B}\) rappresenti il campo magnetico associato ad un filo coincidente con $\gamma$ percorso da una corrente di intensità $I$ tale che $\mu_0 I=4\pi$ (dove $\mu_0$ è la permeabilità del vuoto).

Possiamo essere certi che l'integrale converga?

Suppongo che il miglior modo di approcciare la questione sia verificare se l'integrale converga come integrale di Lebesgue, cioè verificare se l'integrale del suo valore assoluto delle componenti dell'integrando convergano, e noto che ogni componente dell'integrando è differenza di due termini della forma \(l_i'(t)(x_j-l_i(t))\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{l}(t)\|^{-3}\). Vedo che \(|l_i'(t)(x_j-l_i(t))|\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{l}(t)\|^{-3} \le |l_i'(t)||x_j-l_i(t)|^{-2}\), ma non saprei come procedere oltre...
$\infty$ grazie a tutti!

[Raptorista1]

Premesso che il mio senso fisico fa un po' di acqua qui e là, direi che questo dipende dalla \(l\) che consideri.
Detto meglio, credo di poter pensare ad almeno un caso in cui l'integrale converga [caso scolastico banale], mentre per farlo divergere mi viene da pensare a qualche artificio che arrotoli infinite volte un filo intorno ad un punto [tipo ciclo limite] che però non è fisicamente ammissibile perché un filo non è veramente una curva in \(\mathbb{R}^3\).

[DavideGenova1]

Grazie!!!