Campo irrotazionale e prodotto vettoriale simbolico
Ciao a tutti, scrivo in merito al seguente problema.
Sia
\[ \matrix{ \mathbf{F} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \\ \mathbf{F}(x,y) = y \cos(xy)\ \mathbf{i} + x \cos(xy)\ \mathbf{j}} \]
un campo vettoriale. Devo verificare che è irrotazionale.
In questo caso vedo due strade possibili:
(1) \[ \nabla \times \mathbf{F} = \Big ( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \Big ) \mathbf{k} \]
(2) Osservando che \( \mathbf{F} = \cos(xy)\ \mathbf{\tilde F} \), con \( \mathbf{\tilde F} = y\ \mathbf{i} + x\ \mathbf{j} \):
\[ \nabla \times \mathbf{F} = \nabla \times \big ( \cos(xy)\ \mathbf{\tilde F} \big ) = \cos(xy)\ \nabla \times \mathbf{\tilde F} \]
Nel caso (2) si fanno molti meno conti e i due procedimenti portano allo stesso risultato: \( \mathbf{F} \) è irrotazionale.
Se considero invece il campo
\[ \matrix{ \mathbf{F} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \\ \mathbf{F}(x,y) = -y^2e^{-xy^2}\ \mathbf{i} -2xye^{-xy^2}\ \mathbf{j}} \]
Applicando il metodo (2) scopro che \( \mathbf{F} \) non è irrotazionale, quando invece dovrebbe esserlo (utilizzando il metodo (1) concludo che è effettivamente irrotazionale).
Qual è il problema?
Ho il sospetto che il problema sia che la notazione \( \nabla \times \mathbf{F} \) è puramente simbolica e che quindi non valgono le proprietà del prodotto vettoriale che ho utilizzato.
Sia
\[ \matrix{ \mathbf{F} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \\ \mathbf{F}(x,y) = y \cos(xy)\ \mathbf{i} + x \cos(xy)\ \mathbf{j}} \]
un campo vettoriale. Devo verificare che è irrotazionale.
In questo caso vedo due strade possibili:
(1) \[ \nabla \times \mathbf{F} = \Big ( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \Big ) \mathbf{k} \]
(2) Osservando che \( \mathbf{F} = \cos(xy)\ \mathbf{\tilde F} \), con \( \mathbf{\tilde F} = y\ \mathbf{i} + x\ \mathbf{j} \):
\[ \nabla \times \mathbf{F} = \nabla \times \big ( \cos(xy)\ \mathbf{\tilde F} \big ) = \cos(xy)\ \nabla \times \mathbf{\tilde F} \]
Nel caso (2) si fanno molti meno conti e i due procedimenti portano allo stesso risultato: \( \mathbf{F} \) è irrotazionale.
Se considero invece il campo
\[ \matrix{ \mathbf{F} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \\ \mathbf{F}(x,y) = -y^2e^{-xy^2}\ \mathbf{i} -2xye^{-xy^2}\ \mathbf{j}} \]
Applicando il metodo (2) scopro che \( \mathbf{F} \) non è irrotazionale, quando invece dovrebbe esserlo (utilizzando il metodo (1) concludo che è effettivamente irrotazionale).
Qual è il problema?
Ho il sospetto che il problema sia che la notazione \( \nabla \times \mathbf{F} \) è puramente simbolica e che quindi non valgono le proprietà del prodotto vettoriale che ho utilizzato.
Risposte
Ovvio che non valgono... \(\cos xy\) è una funzione e non può assolutamente balzare fuori da operatori differenziali come una costante!
Tuttavia, per il teorema della derivazione del prodotto, si vede che per ogni funzione \(\phi\) ed ogni campo \(\mathbf{F}\) sufficientemente regolari risulta:
\[
\nabla \times (\phi\ \mathbf{F}) = \nabla \phi \times \mathbf{F} + \phi\ \nabla \times \mathbf{F}\; .
\]
Tuttavia, per il teorema della derivazione del prodotto, si vede che per ogni funzione \(\phi\) ed ogni campo \(\mathbf{F}\) sufficientemente regolari risulta:
\[
\nabla \times (\phi\ \mathbf{F}) = \nabla \phi \times \mathbf{F} + \phi\ \nabla \times \mathbf{F}\; .
\]
Quindi nel primo esempio il metodo (2) ha funzionato perché
\[ \nabla \phi \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \]
cioè il gradiente di $ \phi $ valutato in ogni punto risulta parallelo al campo $ \mathbf{F} $.
È corretto il mio ragionamento?
\[ \nabla \phi \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \]
cioè il gradiente di $ \phi $ valutato in ogni punto risulta parallelo al campo $ \mathbf{F} $.
È corretto il mio ragionamento?
"Riccardo Desimini":
Quindi nel primo esempio il metodo (2) ha funzionato perché
\[ \nabla \phi \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \]
cioè il gradiente di $ \phi $ valutato in ogni punto risulta parallelo al campo $ \mathbf{F} $.
È corretto il mio ragionamento?
Beh, sì.
Infatti in quel caso avevi \(\mathbf{F}(x,y)=y\mathbf{i}+x\mathbf{j}\) e \(\phi (x,y):=\cos xy\), sicché:
\[
\nabla \phi (x,y) =-\sin xy (y\mathbf{i} +x\mathbf{j})=-\sin xy\ \mathbf{F}(x,y)
\]
e \(\nabla \phi (x,y)\) è parallelo ad \(\mathbf{F}(x,y)\).
Nel secondo caso, invece:
\[ \phi\ (x,y) = -ye^{-xy^2} \]
da cui
\[ \nabla \phi\ (x,y) = y^3e^{-xy^2}\ \mathbf{i} + e^{-xy^2}(2xy^2-1)\ \mathbf{j} \]
e in effetti non c'è parallelismo tra i due vettori ( \( \mathbf{\tilde F} = y\ \mathbf{i} + 2x\ \mathbf{j} \) ) .
La cosa che mi affascina è che a volte delle semplici coincidenze possono creare confusione, ma allo stesso tempo, se si indaga fino in fondo, si scoprono cose interessanti.
Grazie.
\[ \phi\ (x,y) = -ye^{-xy^2} \]
da cui
\[ \nabla \phi\ (x,y) = y^3e^{-xy^2}\ \mathbf{i} + e^{-xy^2}(2xy^2-1)\ \mathbf{j} \]
e in effetti non c'è parallelismo tra i due vettori ( \( \mathbf{\tilde F} = y\ \mathbf{i} + 2x\ \mathbf{j} \) ) .
La cosa che mi affascina è che a volte delle semplici coincidenze possono creare confusione, ma allo stesso tempo, se si indaga fino in fondo, si scoprono cose interessanti.
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo