Campo esistenza di funzione logaritmica e Induzione

[dafide]

Per quanto riguarda l'Induzione, il nostro docente ci ha fornito due esempi che riporterò in seguito, ma ancora non sono riuscito a comprendere bene il procedimento. Per quanto riguarda il Dominio della funzione logaritmica, sono rimasto bloccato quasi alla fine.
Induzione:
Esempio 1 (progressione aritmetica)
$1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2$
$P_n$ è vera per $n=1$
Dimostrare che $P_(n+1)$ sia vera
$1+2+3+...+n+(n+1) = (n(n+1))/2+(n+1) = (n+1)*(n/2+1) = (n+1)*((n+2)/2)$
Non riesco a capire il penultimo passaggio, come si sia arrivato a $(n+1)*(n/2+1)$.

Esempio 2 (Disuguaglianza di Bermaulle)
$AAx>-1$
$(1+x)^n>=1+nx$
$P_1$ è vera per $n=1$
$1+x>=1+x rArr 1+x=1+x$
Dimostrare che $P_(n+1)$ sia vera
$(1+x)^(n+1)>=1+nx*(1+x)$ moltiplicando il secondo membro $1+nx+x+nx^2 rArr 1+(n+1)x=nx^2 rArr 1+(n+1)*x$
dove è finito x^2? poi perchè tutti questi passaggi?
Non bastava scrivere $(1+x)^(n+1)>=1+(n+1)*x$ ed era dimostrata?

Funzione logaritmica:
$log_(1/3)(senx-1/2)$
Siccome la base del logaritmo è $<1$ si impone l'argomento che chiamo y $0 Metto a sistema e mi viene che ${(1/21$ sostituisco 1 nella disequazione e mi viene ${(1/2 Da qui in poi non riesco più ad andare avanti (e credo di aver svolto bene l'esercizio fino ad adesso).
Scusate eventuali errori o disordine, ma è la prima volta che uso questi simboli.
Grazie

[Andreuzzu]

"dafide":
$1+2+3+...+n+(n+1) = (n(n+1))/2+(n+1) = (n+1)*(n/2+1) = (n+1)*((n+2)/2)$
Non riesco a capire il penultimo passaggio, come si sia arrivato a $(n+1)*(n/2+1)$.

Basta mettere in evidenza $n+1$ in questa relazione $(n(n+1))/2+(n+1)$

[dafide]

Grazie andreuzzu per avermi chiarificato il passaggio (tra l'altro molto semplice)!

[Andreuzzu]

Per quanto il principio di induzione (spero di non scrivere cafonate dato il mal di testa atroce che mi ritrovo) per farla brevemente ti basti sapere che il principio di induzione è il metodo per dimostrare proprietà dei numeri naturali. Indicato con P(n) "una frase che contiene al suo interno valori di n appartenente a N (nn trovo il simbolino sulla tastiera -.-) che a seconda dei valori che assume n può diventare vera o falsa).
Quindi che ne sò supposto come esempio:
$1+2+3+4+...+n=(n(n+1))/2$ e quindi l'obiettivo dell'induzione è dimostrare se è vera tale affermazione è vera $Vn>=n0$ (con n0 fissato).
Quindi supposto che P0 è vera anche la successiva$P(n+1)$ è vera (il passaggio induttivo) ecc ecc

[leena1]

"dafide":Funzione logaritmica:
$log_(1/3)(senx-1/2)$
Siccome la base del logaritmo è $<1$ si impone l'argomento che chiamo y $0 Metto a sistema e mi viene che ${(1/21$ sostituisco 1 nella disequazione e mi viene ${(1/2 Da qui in poi non riesco più ad andare avanti (e credo di aver svolto bene l'esercizio fino ad adesso).
Scusate eventuali errori o disordine, ma è la prima volta che uso questi simboli.
Grazie

Vuoi trovare il dominio della funzione? Perchè limiti $y<1$?

[dafide]

"leena":[quote="dafide"]Siccome la base del logaritmo è $<1$ si impone l'argomento che chiamo y $0
Vuoi trovare il dominio della funzione? Perchè limiti $y<1$?[/quote]

Si devo trovare il Dominio. Impongo $senx-1/2=y$ e limito $y<1$ in quanto il logaritmo ha base $<1$ e quindi l'argomento è compreso $0 Giusto?

[gugo82]

"dafide":Esempio 2 (Disuguaglianza di Bermaulle)
$AAx> -1$
$(1+x)^n>=1+nx$

All'improvviso uno sconosciuto... (Gialappa's band)

Si chiama disuguaglianza di Bernoulli.

[Andreuzzu]

"Gugo82":[quote="dafide"]Esempio 2 (Disuguaglianza di Bermaulle)
$AAx> -1$
$(1+x)^n>=1+nx$

All'improvviso uno sconosciuto... (Gialappa's band)

Si chiama disuguaglianza di Bernoulli.[/quote]

ahhahahha

[leena1]

"dafide":Si devo trovare il Dominio. Impongo $senx-1/2=y$ e limito $y<1$ in quanto il logaritmo ha base $<1$ e quindi l'argomento è compreso $0 Giusto?

No.
Il dominio di un logaritmo si ottiene semplicemente imponendo l'argomento maggiore di zero.

Forse stai facendo confusione con il segno del logaritmo, che quando la base è $<1$ è positivo se l'argomento è compreso tra 0 e 1

[gugo82]

"Gugo82":[quote="dafide"]Disuguaglianza di Bermaulle

All'improvviso uno sconosciuto... (Gialappa's band)

Si chiama disuguaglianza di Bernoulli.[/quote]
E, ad ogni modo, puoi guardare qui.