Campo di esistenza

[mariopeddis89]

\(\ln (\sin (x-3))+ \sqrt{2-x} \)

campo di esistenza???

[gugo82]

Idee tue?
(Cfr. regolamento, 1.2-1.5, e questo avviso)

[mariopeddis89]

allora per quanto riguarda la scrittura della funzione, non sono riuscito a capire come funziona... per quanto riguarda la funzione, l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0, però poi ho difficoltà nel far ''scomparire'' il seno..devo usare la funzione inversa? poi per l'irrazionale con indice pari devo imporre che il radicando sia maggiore o uguale a 0...il mio unico problema è sul primo membro

[gugo82]

Il campo di esistenza lo trovi risolvendo il sistema:
\[
\begin{cases}
\sin (x-3)>0\\
2-x\geq 0
\end{cases}
\]
La seconda è facile, ma anche la prima...
Tanto per semplificare la scrittura, sostituisci \(y=x-3\); quando è che \(\sin y>0\)?

Basta fare un disegnino della circonferenza goniometrica per vederlo: disegnata la circonferenza goniometrica (in grigio), segni in rosso i seni maggiori di zero; questi seni provengono dagli archi appartenenti alla parte di circonferenza calcata in blu; quindi le \(y\) che cerchi sono quelle comprese tra gli archi che delimitano tale parte di circonferenza, e tutte quelle che differiscono da queste per multipli interi di \(2\pi\).
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="grey"; circle([0,0],1);
strokewidth=2;
stroke="blue"; arc([1,0],[-1,0],1);
strokewidth=4;
stroke="red"; line([0,0],[0,1]);[/asvg]
Scritte le soluzioni che ti interessano, sostituisci a ritroso \(y=x-3\) e risolvi per \(x\).


P.S.: Ma le disequazioni trigonometriche alle superiori non le insegnano più?

[mariopeddis89]

guarda io ho fatto il classico quindi è anche normale che non le abbia mai viste, magari in altre scuole le spiegano...anzi ne sono sicuro...
comunque, se ho capito bene ho 0 giusto? poi sostituendo x-3 a y trovo le soluzioni... adesso lo faccio e scrivo il risultato

[gugo82]

"mariopeddis89":guarda io ho fatto il classico quindi è anche normale che non le abbia mai viste, magari in altre scuole le spiegano...anzi ne sono sicuro...

Che io ricordi, la trigonometria si studia in terzo ginnasio al classico, quindi credo che anche equazioni e disequazioni trigonometriche siano in programma, no?

"mariopeddis89":comunque, se ho capito bene ho 0 giusto? poi sostituendo x-3 a y trovo le soluzioni... adesso lo faccio e scrivo il risultato

Le soluzioni di \(\sin y>0\) sono \(2k\pi < y<\pi +2k\pi \quad \text{(con }k\in \mathbb{Z}\text{)}\), quindi le soluzioni della tua disequazione sono del tipo:
\[
3+2k\pi \]
in altri termini, l'insieme delle soluzioni è:
\[
A:= \bigcup_{k\in \mathbb{Z}} ]3+2k\pi , 3+\pi +2k\pi[\; .
\]
L'insieme delle soluzioni dell'altra quazione è \(B=]-\infty ,2]\). Perciò le soluzioni del tuo sistema si ottengono intersecando \(A\) e \(B\).
Si vede allora che l'insieme di definizione \(X\) della tua funzione è:
\[
X:=A\cap B =\bigcup_{k\leq -1} ]3+2k\pi , 3+\pi +2k\pi[\; .
\]

[mariopeddis89]

la trigonometria l'ho studiata al secondo anno del ginnasio, ma disequazioni non ne ho mai studiato...al terzo anno ho studiato limiti derivate e integrali. Almeno quando ho studiato i programmi erano quelli. Comunque ok ho capito tutto, non mettevo il k e per questo motivo i risultati non coincidevano. Gentilissimo