Campo di definizione integrale triplo

[lucalo1]

Ragazzi, ho un problemuccio nel fare il passaggio a coordinate cilindriche per il seguente integrale triplo
$ int int int_(E) x^2y dx dy dz $
dove $ E={(x,y,z): x^2+y^2<=1, 0<=y<=1} $

Il ragionamento che faccio è il seguente:
x^2+y^2<=1 sono i punti interni ad una circonferenza tra il piano x,y in particolare dove 0<=y<=1.
Ma l'intervallo di variazione di z, qual è?

[lucalo1]

Credo di averlo risolto con passaggio a coordinate sferiche.
Infatti considerando
$ -pi/2<=vartheta <=pi/2 $
$ 0<=varphi <=pi $
$ J=rho^2 sen(varphi) $
Mi trovo:

$ int int_(D) rho^4 cos^2(vartheta)sen(vartheta) drho dvartheta int_(0)^(pi) sen^4(varphi) dvarphi = 0 $
(perché si riduce tutto ad una "moltiplicazione" non essendoci "dipendenze"
$ int_(-pi/2)^(pi/2) cos^2(vartheta)sen(vartheta) dvartheta = 0 $

Mi rimangono due dubbi però.
1. Ho scelto bene l'intervallo di theta? (In tre dimensioni mi imbroglio spesso)
2.Che fine fa la z nel caso volessi risolvere il tutto con passaggio a coordinate cilindriche

[Lory314]

Data la forma del dominio ti consiglierei le coordiante cilindriche. $z$ varia in tutto $\mathbb{R}$. L'insieme quindi non è altro che la metà di un cilindro con base simicircolare (data dal semicerchio di centro l'origine, raggio $1$, con $y$ positiva) e avente altezza infinita.