Campo di definizione di una soluzione del problema di Cauchy
dunque..... l'esercizio è il seguente (a dire il vero non ricordo se l'avevo gia postato qualche tempo fa - e non so neppure come fare per vedere -, ad ogni modo lo riscrivo cosi forse spiego meglio cosa vorrei capire)
La soluzione massimale y(x) del problema di Cauchy:
A SISTEMA $y'=(1-x)/(cos(y))$ e $y(0)=pi$
A) ha un punto critico di massimo assoluto
B) ha un punto critico di minimo assoluto
C) è strettamente decrescente
D) è strettamente crescente
a variabili separabili $->$ $G(y)=F(x)$
con $G(y)=\int_{yo}^{y}g(t)dt$ $F(x)=\int_{xo}^{x}f(s)ds$
da cui:
$G(y)=\int_{pi}^{y}cos(t)dt$ $F(x)=\int_{0}^{x}(1-s)ds$
da cui attraverso i calcoli si giunge alla forma
$sen(y)=-(x^2/2)+x$
ora la questione è che come al solito devo arrivare alla soluzione y(x) per andarla a studiare
io ricordo una cosa...la mia prof aveva detto che bisognava studiare la funzione seno di questo esercizio nell'intervallo $è[(pi)/2;3/2(pi)]$
non capisco il perchè.....cioè il seno in quell'intervallo è negativo...perche si studia la funzione proprio li???
e poi attraverso questo ragionamento ha detto che si deve vedere quindi attraverso gli angoli associati la funzione finale che sarà
$y(x)=pi - arcsen(x-x^2/2)$ avendo considerato che il $sen(y)=sen(pi-y)$
non ci sto capendo molto
Help me!! Thanks!!! 
La soluzione massimale y(x) del problema di Cauchy:
A SISTEMA $y'=(1-x)/(cos(y))$ e $y(0)=pi$
A) ha un punto critico di massimo assoluto
B) ha un punto critico di minimo assoluto
C) è strettamente decrescente
D) è strettamente crescente
a variabili separabili $->$ $G(y)=F(x)$
con $G(y)=\int_{yo}^{y}g(t)dt$ $F(x)=\int_{xo}^{x}f(s)ds$
da cui:
$G(y)=\int_{pi}^{y}cos(t)dt$ $F(x)=\int_{0}^{x}(1-s)ds$
da cui attraverso i calcoli si giunge alla forma
$sen(y)=-(x^2/2)+x$
ora la questione è che come al solito devo arrivare alla soluzione y(x) per andarla a studiare
io ricordo una cosa...la mia prof aveva detto che bisognava studiare la funzione seno di questo esercizio nell'intervallo $è[(pi)/2;3/2(pi)]$
non capisco il perchè.....cioè il seno in quell'intervallo è negativo...perche si studia la funzione proprio li???
e poi attraverso questo ragionamento ha detto che si deve vedere quindi attraverso gli angoli associati la funzione finale che sarà
$y(x)=pi - arcsen(x-x^2/2)$ avendo considerato che il $sen(y)=sen(pi-y)$
non ci sto capendo molto
Help me!! Thanks!!!
Risposte
Ciao!
Ho rivisto i tuoi passaggi e mi sembrano tutti corretti,tranne quello in cui dici che l'intervallo di definizione della funzione è
I=[$\pi$/2;3$\pi$/2]; Infatti secondo me questo passaggio può essere bypassato se non consideri la funzione traslata di $\pi$, cioè se conideri sen(y) e non sen($\pi$-y).
Mi spiego meglio: Lintervallo deve contenere il punto iniziale, che in questo caso è zero poichè y(0)=$\pi$,quindi io ragionerei nell'intervallo massimale [-$\pi$/2;$\pi$/2].
Scusa per le formule,non sono molto pratico..
Ho rivisto i tuoi passaggi e mi sembrano tutti corretti,tranne quello in cui dici che l'intervallo di definizione della funzione è
I=[$\pi$/2;3$\pi$/2]; Infatti secondo me questo passaggio può essere bypassato se non consideri la funzione traslata di $\pi$, cioè se conideri sen(y) e non sen($\pi$-y).
Mi spiego meglio: Lintervallo deve contenere il punto iniziale, che in questo caso è zero poichè y(0)=$\pi$,quindi io ragionerei nell'intervallo massimale [-$\pi$/2;$\pi$/2].
Scusa per le formule,non sono molto pratico..
Se capisco bene il suggerimento di Lazar, direi che non si può applicare. O, almeno, non direttamente. Mi sembra che lui ragioni su $x_0$, cioè il punto iniziale, mentre la difficoltà (apparente) è dovuta ad $y_0$, cioè al valore iniziale. Ma può darsi che abbia frainteso.
Proprio perché la condizione è che il valore di $y$ in $0$ vale $\pi$, tu "devi" lavorare per valori di $y$ strettamente compresi tra $\pi/2$ e $3\pi/2$. Tutto ciò è dovuto al fatto che agli estremi di questo intervallo la funzione $\cos$ si annulla e questo fa sì che l'equazione differenziale diventi problematica, visto che il coseno è a denominatore
Il dover lavorare in $]\pi/2,3\pi/2[$ ti obbliga ad invertire la funzione seno su questo intervallo, e la sua inversa è l'arcoseno, cambiata di segno e traslata di $\pi$.
Se vuoi un esempio svolto dove c'è esattamente questo problema, vai a pag. 9, esempio 5 di:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
proprio nell'ultima riga di quella pagina, uso la arctg traslata di $3\pi$ per invertire la tang, e ciò dipende dal valore della c.i.
Help given? May I eat your thanks?
Proprio perché la condizione è che il valore di $y$ in $0$ vale $\pi$, tu "devi" lavorare per valori di $y$ strettamente compresi tra $\pi/2$ e $3\pi/2$. Tutto ciò è dovuto al fatto che agli estremi di questo intervallo la funzione $\cos$ si annulla e questo fa sì che l'equazione differenziale diventi problematica, visto che il coseno è a denominatore
Il dover lavorare in $]\pi/2,3\pi/2[$ ti obbliga ad invertire la funzione seno su questo intervallo, e la sua inversa è l'arcoseno, cambiata di segno e traslata di $\pi$.
Se vuoi un esempio svolto dove c'è esattamente questo problema, vai a pag. 9, esempio 5 di:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
proprio nell'ultima riga di quella pagina, uso la arctg traslata di $3\pi$ per invertire la tang, e ciò dipende dal valore della c.i.
Help given? May I eat your thanks?
OK....ci darò un'occhiata.....GRAZIE GRAZIE!!!!
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