Campo conservativo e potenziale scalare
E' vero che
Ad esempio per il potenziale vettore non è così: se il campo deriva da un potenziale vettore allora è solenoidale ma, se è solenoidale, ammette potenziale vettore sole se il dominio è a connessione superficiale semplice. Da questa osservazione mi è venuto il dubbio che anche per il campo conservativo ci sia qualche altra condizione da soddisfare.
un campo è conservativo se e solo se deriva da un potenziale scalare?
Ad esempio per il potenziale vettore non è così: se il campo deriva da un potenziale vettore allora è solenoidale ma, se è solenoidale, ammette potenziale vettore sole se il dominio è a connessione superficiale semplice. Da questa osservazione mi è venuto il dubbio che anche per il campo conservativo ci sia qualche altra condizione da soddisfare.
Risposte
Beh, è la definizione di campo conservativo…
$mathbf(F)$ è conservativo solo se esiste una funzione scalare $U$ tale che $mathbf(F)=nabla U$.
$mathbf(F)$ è conservativo solo se esiste una funzione scalare $U$ tale che $mathbf(F)=nabla U$.
"gugo82":
Beh, è la definizione di campo conservativo…
$mathbf(F)$ è conservativo solo se esiste una funzione scalare $U$ tale che $mathbf(F)=nabla U$.
La definizione di campo conservativo in un dominio $\Omega$ non è:
campo tale che la circuitazione è nulla per ogni linea chiusa contenuta in $\Omega$?
Come quella di campo Irrotazionale.
Tutte e tre equivalenti.
Tutte e tre equivalenti.
Tipico controesempio di forma chiusa ma non esatta: $f(x,y):=-\frac{y}{x^2+y^2}+\frac{x}{x^2+y^2}$, dove ho studiato lo chiamavano "la solita" perché non se ne trovano altri 
Grazie a tutti per le risposte. Quindi concludo che le due definizioni sono equivalenti
"arnett":
[quote="Bbach"]Ad esempio per il potenziale vettore non è così: se il campo deriva da un potenziale vettore allora è solenoidale ma, se è solenoidale, ammette potenziale vettore sole se il dominio è a connessione superficiale semplice.
Sì ma attenzione che questo non è vero. Un campo si dice solenoidale se ammette potenziale vettore o equivalentemente se il suo flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa è nullo, le due condizioni si coimplicano.[/quote]
Da quel che so, se non facciamo alcuna ipotesi su $\Omega$ condizione necessaria ma non sufficiente affinché il campo derivi da un potenziale vettore è che esso sia solenoidale.
Non so cosa dirti perché l'ho appena riletto su "Esposito Fiorenza - Analisi matematica parte D " pag.176
Se $\Omega$ è a connessione superficiale semplice, condizione necessaria e sufficiente affinché il campo derivi da un potenziale vettore è che esso sia solenoidale.
Segnaliamo che se non si suppone $\Omega$ a connessione semplice superficiale, la condizione del Teorema è solo necessaria
Si dice che $\mathbf{w}$ è un campo solenoidale quando è nullo il flusso di $\mathbf{w}$ uscente da una qualunque superficie chiusa, generalmente regolare, contenuta in $\Omega$
Ok... Cerco di mettere un po’ d’ordine nelle definizioni e nei risultati.
Vado un po’ a memoria, poiché non ho nessun libro di Calcolo Vettoriale sotto mano. Quindi sarò grato a chiunque vorrà correggere qualche inesattezza.
***
In quanto segue, $Omega subseteq RR^n$ ($n=2,3$) è un aperto connesso, mentre $mathbf(F)$ è un campo vettoriale su $Omega$, cioè $mathbf(F):Omega -> RR^n$ ($n=2,3$), con un minimo di regolarità (diciamo di classe $C^1$, per capirci).
Potenziali scalari, campi conservativi ed irrotazionali:
Si dimostra che, indipendentemente dalle proprietà geometriche dell’aperto $Omega$, risulta:
e la dimostrazione si fa sfruttando il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale per le forme differenziali lineari.
Il viceversa, in generale, non vale; tuttavia, se si rafforzano le ipotesi sulle proprietà geometriche dell’aperto $Omega$, si riesce a dimostrare che:
e la dimostrazione si fa costruendo esplicitamente una primitiva con l’uso di opportuni integrali curvilinei.
Conseguentemente, se l’aperto di definizione del campo è semplicemente connesso, la conservatività e l’irrotazionalità del campo sono condizione necessaria e sufficiente all’esistenza di un potenziale scalare.[nota]Chiaramente, se il campo non è di classe $C^1$, ma solo di classe $C^0$ in $Omega$, l’irrotazionalità è in generale irrecuperabile poiché non definita. I teoremi precedenti rimangono comunque veri, eccezione fatta per le parti riguardanti l’irrotazionalità.[/nota]
I teoremi citati valgono in entrambi i casi $n=2$ ed $n=3$.
Potenziali vettori, campi solenoidali ed indivergenti:
Quanto segue vale per $n=3$ e si trasporta al caso bidimensionale con le opportune modifiche (dettate dal pensare il piano immerso nello spazio).
Come sopra, si dimostra che, indipendentemente dalla geometria dell’aperto $Omega$, risulta:
e che, in generale, non vale il viceversa per quanto riguarda la divergenza.
Tuttavia, se si richiedono proprietà geometriche più forti sull’aperto $Omega$ (connessione superficiale semplice), il teorema precedente si inverte:
***
Quanto ho scritto evidenzia che io non ricordavo bene la definizione di campo conservativo (
) e che arnett usa una nomenclatura differente dallo OP.
Vado un po’ a memoria, poiché non ho nessun libro di Calcolo Vettoriale sotto mano. Quindi sarò grato a chiunque vorrà correggere qualche inesattezza.
***
In quanto segue, $Omega subseteq RR^n$ ($n=2,3$) è un aperto connesso, mentre $mathbf(F)$ è un campo vettoriale su $Omega$, cioè $mathbf(F):Omega -> RR^n$ ($n=2,3$), con un minimo di regolarità (diciamo di classe $C^1$, per capirci).
Potenziali scalari, campi conservativi ed irrotazionali:
Si dice che $mathbf(F)$ è dotato di potenziale scalare in $Omega$ se esiste una funzione $U:Omega -> RR$ differenziabile in $Omega$ e tale che $nabla U(mathbf(x)) = mathbf(F)(mathbf(x)) $ per ogni $mathbf(x) in Omega$.
Si dice che $mathbf(F)$ è conservativo in $Omega$ se è nulla la circuitazione di $mathbf(F)$ lungo una qualsiasi curva regolare, semplice e chiusa $gamma subseteq Omega$, cioè se $oint_gamma mathbf(F) text(d) s = 0$.
Si dice che $mathbf(F)$ è irrotazionale in $Omega$ se risulta $text(rot) mathbf(F)(mathbf(x))= nabla xx mathbf(F)(mathbf(x)) = mathbf(0)$ per ogni $mathbf(x) in Omega$.[nota]Se $n=2$ la condizione $text(rot) mathbf(F)(mathbf(x)) = mathbf(0)$ va rimpiazzata con la condizione di derivate in croce, i.e. con $(partial F_x)/(partial x) (mathbf(x)) = (partial F_y)/(partial y)(mathbf(x))$ per ogni $mathbf(x) in Omega$ (in cui $mathbf(F) = (F_x, F_y)$).[/nota]
Si dimostra che, indipendentemente dalle proprietà geometriche dell’aperto $Omega$, risulta:
Se $mathbf(F)$ è dotato di potenziale scalare in $Omega$, allora $mathbf(F)$ è conservativo ed irrotazionale in $Omega$.
e la dimostrazione si fa sfruttando il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale per le forme differenziali lineari.
Il viceversa, in generale, non vale; tuttavia, se si rafforzano le ipotesi sulle proprietà geometriche dell’aperto $Omega$, si riesce a dimostrare che:
Se $mathbf(F)$ è conservativo o irrotazionale in $Omega$ e se $Omega$ è semplicemente connesso, allora $mathbf(F)$ è dotato di potenziale scalare in $Omega$.
e la dimostrazione si fa costruendo esplicitamente una primitiva con l’uso di opportuni integrali curvilinei.
Conseguentemente, se l’aperto di definizione del campo è semplicemente connesso, la conservatività e l’irrotazionalità del campo sono condizione necessaria e sufficiente all’esistenza di un potenziale scalare.[nota]Chiaramente, se il campo non è di classe $C^1$, ma solo di classe $C^0$ in $Omega$, l’irrotazionalità è in generale irrecuperabile poiché non definita. I teoremi precedenti rimangono comunque veri, eccezione fatta per le parti riguardanti l’irrotazionalità.[/nota]
I teoremi citati valgono in entrambi i casi $n=2$ ed $n=3$.
Potenziali vettori, campi solenoidali ed indivergenti:
Quanto segue vale per $n=3$ e si trasporta al caso bidimensionale con le opportune modifiche (dettate dal pensare il piano immerso nello spazio).
Si dice che $mathbf(F)$ è dotato di potenziale vettore in $Omega$ se esiste un campo vettoriale $mathbf(Phi)$ tale che $text(rot) mathbf(Phi) (mathbf(x)) = mathbf(F)(mathbf(x))$ per ogni $mathbf(x) in Omega$.
Si dice che $mathbf(F)$ è solenoidale in $Omega$ se è nullo il flusso di $mathbf(F)$ attraverso una qualsiasi superficie regolare chiusa $Sigma subset Omega$, ossia se $intint_Sigma mathbf(F) * mathbf(nu) text(d) sigma = 0$ (in cui $mathbf(nu)$ denota il versore normale esterno a $Sigma$ e $*$ il prodotto scalare).
Si dice che $mathbf(F)$ è indivergente (o a divergenza nulla) in $Omega$ se risulta $text(div) mathbf(F)(mathbf(x)) = nabla * mathbf(F) (mathbf(x)) = 0$ per ogni $mathbf(x) in Omega$.
Come sopra, si dimostra che, indipendentemente dalla geometria dell’aperto $Omega$, risulta:
Se $mathbf(F)$ è dotato di potenziale vettore in $Omega$ se è solo se $mathbf(F)$ è solenoidale; inoltre, $mathbf(F)$ è anche indivergente in $Omega$.
e che, in generale, non vale il viceversa per quanto riguarda la divergenza.
Tuttavia, se si richiedono proprietà geometriche più forti sull’aperto $Omega$ (connessione superficiale semplice), il teorema precedente si inverte:
Se $mathbf(F)$ è indivergente in $Omega$ e se $Omega$ è a connessione superficiale semplice, allora $mathbf(F)$ è solenoidale e dotato di potenziale vettore in $Omega$.
***
Quanto ho scritto evidenzia che io non ricordavo bene la definizione di campo conservativo (
) e che arnett usa una nomenclatura differente dallo OP.
Non so davvero come ringraziarti, gugo82, perché finalmente si è fatto un po' d'ordine nella mia testa 
Ti chiedo solo di correggere questa parte in cui -credo- c'è qualche refuso:
credo sia "se $mathbf(F)$ è dotato di potenziale vettore in $Omega$ allora $mathbf(F)$ è solenoidale e quindi anche indivergente"
tuttavia se è solenoidale non è detto che sia dotato di potenziale vettore e se è indivergente non è detto che sia solenoidale.
Giusto?
[/quote]
Ti chiedo solo di correggere questa parte in cui -credo- c'è qualche refuso:
"gugo82":
Come sopra, si dimostra che, indipendentemente dalla geometria dell’aperto $Omega$, risulta:
Se $mathbf(F)$ è dotato di potenziale vettore in $Omega$ se è solo se $mathbf(F)$ è solenoidale; inoltre, $mathbf(F)$ è anche indivergente in $Omega$.
e che, in generale, non vale il viceversa per quanto riguarda la divergenza.
credo sia "se $mathbf(F)$ è dotato di potenziale vettore in $Omega$ allora $mathbf(F)$ è solenoidale e quindi anche indivergente"
tuttavia se è solenoidale non è detto che sia dotato di potenziale vettore e se è indivergente non è detto che sia solenoidale.
Giusto?
[/quote]
"Bbach":
Non so davvero come ringraziarti, gugo82, perché finalmente si è fatto un po' d'ordine nella mia testa
Ti chiedo solo di correggere questa parte in cui -credo- c'è qualche refuso:
[quote="gugo82"]
Come sopra, si dimostra che, indipendentemente dalla geometria dell’aperto $Omega$, risulta:
Se $mathbf(F)$ è dotato di potenziale vettore in $Omega$ se è solo se $mathbf(F)$ è solenoidale; inoltre, $mathbf(F)$ è anche indivergente in $Omega$.
e che, in generale, non vale il viceversa per quanto riguarda la divergenza.
credo sia "se $mathbf(F)$ è dotato di potenziale vettore in $Omega$ allora $mathbf(F)$ è solenoidale e quindi anche indivergente"
tuttavia se è solenoidale non è detto che sia dotato di potenziale vettore e se è indivergente non è detto che sia solenoidale.
Giusto?
[/quote]
Confermi il refuso o ho capito male io?
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