Campo conservativo?
ho il seguente campo $F=(x-y)/(x^2+y^2),(x+y)/(x^2+y^2)$ il campo ovviamente non è definito in (0,0), ma posso dire che il campo è conservativo su $R^2, escluso (0,0)$?(non so fare questo "/" simbolo)...penso di no, sbaglio? se riesco a dimostrare che percorrendo ad esempio una circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 il lavoro è diverso da 0 allora non vale quello che ho detto prima? giusto?
grazie
grazie
Risposte
Si è corretto, inoltre la curva va bene perchè è scelta in modo "furbo". Non capisco se ti serve anche una spiegazione del ragionamento che sta dietro a tutto quanto o solo una conferma!
quindi cosa posso affermare in questo caso?
mentre se non lo riesco a dimostrare, per esempio: mi muovo su una linea chiusa che chiude l'origine e il lavoro è 0, in quel caso cosa posso concludere?
mentre se non lo riesco a dimostrare, per esempio: mi muovo su una linea chiusa che chiude l'origine e il lavoro è 0, in quel caso cosa posso concludere?
Dunque il tuo insieme in esame non è semplicemente connesso, quindi devi usare un'altra strada. Ovvero $F$ ammette potenziale se e solo se $\int_(gamma) F" d"s =0$ per ogni $\gamma$ chiusa contenuta in $A$ (ovvero $\RR\setminus \{ (0,0) \}$.
Esistono a questo punto due tipi di curve chiuse: quelle che racchiudono $(0,0)$ e quelle che non lo racchiudono.
Esaminiamo una curva che non racchiude $(0,0)$: essa è frontiera di una superficie $S$ tutta contenuta in $A$. Per cui grazie al teorema del rotore $\int_(delta S) < F, T > " d" s =int int_S < "rot" F, N > " d" sigma$ e per ipotesi $"rot" F=0$ quindi per qualsiasi $S$ che non contiene $(0,0)$ il lavoro è zero.
Occupiamoci ora di una curva che racchiude l'origine. Purtroppo la superficie racchiusa questa volta non esiste e quindi non posso applicare il teorema del rotore e dovrei quindi dimostrare che per ogni curva chiusa contentente $(0,0)$ il lavoro è zero. Posso però considerare una superficie $S$ fatta come nel post successìvo (se metto l'immagine qui non so perchè ma mi sballa le formule)
[asvg]axes();
circle([0,0], 3);
circle([0,0], 5);[/asvg]
($S$ è la superficie compresa tra le due curve)
Su $S$ vale $\int int_S < "rot" F , N > " d" sigma =int_(delta S) < F, T > " d" s = int_(gamma_2) < F, T > " d" s - int_(gamma_1) < F, T > " d"s$ chiamando $\gamma_2$ la curva esterna (percorsa in senso antiorario) e $\gamma_1$ quella interna (cambiata di segno).
Per cui ottieni che $\int_(gamma_1) < F, T > " d" s = int_(gamma_2) < F, T > " d" s$ quindi che tutte le curve che racchiudono $(0,0)$ hanno lo stesso integrale. Per cui è necessario farne una, tutte le altre forniranno lo stesso risultato. A questo punto quindi ne scegli una furba: se il lavoro è zero allora $F$ ammette potenziale, se non è zero $F$ non ammette potenziale (questa volta c'è il se e solo se).
Spero di essere stato chiaro! Allego l'immagine nel prossimo post!
Esistono a questo punto due tipi di curve chiuse: quelle che racchiudono $(0,0)$ e quelle che non lo racchiudono.
Esaminiamo una curva che non racchiude $(0,0)$: essa è frontiera di una superficie $S$ tutta contenuta in $A$. Per cui grazie al teorema del rotore $\int_(delta S) < F, T > " d" s =int int_S < "rot" F, N > " d" sigma$ e per ipotesi $"rot" F=0$ quindi per qualsiasi $S$ che non contiene $(0,0)$ il lavoro è zero.
Occupiamoci ora di una curva che racchiude l'origine. Purtroppo la superficie racchiusa questa volta non esiste e quindi non posso applicare il teorema del rotore e dovrei quindi dimostrare che per ogni curva chiusa contentente $(0,0)$ il lavoro è zero. Posso però considerare una superficie $S$ fatta come nel post successìvo (se metto l'immagine qui non so perchè ma mi sballa le formule)
[asvg]axes();
circle([0,0], 3);
circle([0,0], 5);[/asvg]
($S$ è la superficie compresa tra le due curve)
Su $S$ vale $\int int_S < "rot" F , N > " d" sigma =int_(delta S) < F, T > " d" s = int_(gamma_2) < F, T > " d" s - int_(gamma_1) < F, T > " d"s$ chiamando $\gamma_2$ la curva esterna (percorsa in senso antiorario) e $\gamma_1$ quella interna (cambiata di segno).
Per cui ottieni che $\int_(gamma_1) < F, T > " d" s = int_(gamma_2) < F, T > " d" s$ quindi che tutte le curve che racchiudono $(0,0)$ hanno lo stesso integrale. Per cui è necessario farne una, tutte le altre forniranno lo stesso risultato. A questo punto quindi ne scegli una furba: se il lavoro è zero allora $F$ ammette potenziale, se non è zero $F$ non ammette potenziale (questa volta c'è il se e solo se).
Spero di essere stato chiaro! Allego l'immagine nel prossimo post!
grazie lawrencetb sei stato molto chiaro, non ho capito però perchè sulla nuova superficie S puoi usare il teorema del rotore anche questa nuova superficie racchiude l'origine?(penso di aver capito il perchè ma vorrei una conferma da te).
in questo caso cosa posso dire delle proprietà del campo. quando è conservativo e quando non lo è.
grazie
in questo caso cosa posso dire delle proprietà del campo. quando è conservativo e quando non lo è.
grazie
La superficie non contiene l'origine (se la contenesse la superficie non sarebbe definita in quel punto). Semplicemente la uso per "scoprire" che tutte le linee chiuse che racchiudono l'origine hanno lo stesso integrale! In più essendo chiusa posso applicare il teorema del rotore, ma è solo appunto per dimostrare che per qualuque gamma attorno all'origine l'integrale ha lo stesso risultato.
ok, ho capito, quindi in conclusione se il risultato è 0 allora posso dire che il mio campo e conservativo tranne l'origine, mentre se il risultato è diverso da 0 cosa posso affermare?
Allora sicuramente F non è conservativo, poichè nel teorema vale il se e solo se.
grazie lawrencetb. ultima domanda. rimane però possibile definire la conservatività in un semipiano per esempio ?nel senso: se mi limito a particolari zone del dominio posso trovare zone in cui il campo è conservativo giusto?, nell'esempio che ti ho fatto io per esempio, è conservativo nel semipiano y>0. giusto
@lawrencetb: Ho messo a posto il tuo post precedente.
Il problema è che, alcune volte, i degni $<$ e $>$ vanno distanziati dagli altri con uno spazio... Non so perchè accada, ma così è.
Il problema è che, alcune volte, i degni $<$ e $>$ vanno distanziati dagli altri con uno spazio... Non so perchè accada, ma così è.
"gugo82":
@lawrencetb: Ho messo a posto il tuo post precedente.
Il problema è che, alcune volte, i degni $<$ e $>$ vanno distanziati dagli altri con uno spazio... Non so perchè accada, ma così è.
Ah ecco! ho notato però che il problema si verifica solo quando inserisco grafici..grazie comunque!
"matematico91":
grazie lawrencetb. ultima domanda. rimane però possibile definire la conservatività in un semipiano per esempio ?nel senso: se mi limito a particolari zone del dominio posso trovare zone in cui il campo è conservativo giusto?, nell'esempio che ti ho fatto io per esempio, è conservativo nel semipiano y>0. giusto
Temo che non sia del tutto corretto, però non ne sono del tutto sicuro. Ad ogni modo quando andrai a scrivere i potenziali essi dipenderanno da costanti arbitrarie (una per ogni parte semplicemente connessa).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo