Campo conservativo

[Elia19991]

Salve avrei un problema in questo esercizio :

Dato il campo vettoriale \(\displaystyle F=(e^{yx^3+x}(3x^2 y+1), e^{yx^3+x}(x^3)) \) dire se è conservativo. Se si dove ?

Ora ho trovato che il campo è conservativo incrociando le derivate, ossia : \(\displaystyle \frac {dF_1} {dy}= \frac {dF_2} {dx} \)
Ora il problema è che non so stabilire dove è conservativo.

[Mephlip]

Occhio che prima ancora di calcolare le derivate parziali va detto dove è definito $F$.
Comunque non hai dimostrato che è conservativo, bensì che è irrotazionale; ci sono teoremi che legano l'essere irrotazionale all'essere conservativo?

[Elia19991]

Il professore mi disse che se l'insieme dove è definito F è semplicemente connesso, allora il fatto che il campo sia irrotazionale implica che sia conservativo. In questo caso il dominio di F è R^2 quindi dovrebbe essere conservativo, giusto ?

[Mephlip]

Mi riferivo proprio a quel teorema: quello che dici è giusto, $F$ è conservativo in $\mathbb{R}^2$ perché irrotazionale in un insieme semplicemente connesso.

[Elia19991]

Si ma quindi dove è conservativo F non sarebbe altro che il suo dominio ?

[Mephlip]

No.
Se $F$ è irrotazionale in un insieme semplicemente connesso allora $F$ è conservativo in quell'insieme.
In questo caso coincidono, ma è un puro caso: ci sono campi vettoriali conservativi solo su sottoinsiemi propri del loro dominio.
Se vuoi far pratica, prova a costruirti un esempio di campo vettoriale conservativo solo su un sottoinsieme proprio del suo dominio!

[Elia19991]

Si ma in questo caso quale sarebbe ?