Campo Conservativo

[matteo.zanasi]

Ciao Ragazzi. Scrivo per sapere come è possibile dimostrare se un campo F è conservativo. Io so per definizione che un campo è conservativo se IRROTAZIONALE e SEMPLICEMENTE CONNESSO.

Il campo Irrotazionale riesco a dimostrarlo in quanto è sufficiente calcolare le derivate in un determinato ordine e poi si confrontano.

Mi interessava sapere se riuscivate a spiegarmi come dimostrare che il campo scritto sotto è connesso.

Vi ringrazio in anticipo!

$F1(x,y,z)=cos(3x+y^(2)z)-sin(3x+y^(2)z)$
$F2(x,y,z)=-2xyzsin(3x+y^(2)z)$
$F3(x,y,z)=-xy^2sin(3x+y^(2)z)$

[Rigel1]

"matteo.zanasi":Ciao Ragazzi. Scrivo per sapere come è possibile dimostrare se un campo F è conservativo. Io so per definizione che un campo è conservativo se IRROTAZIONALE e SEMPLICEMENTE CONNESSO.

No; per definizione un campo \(F:\Omega\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) è conservativo se esiste una funzione \(V:\Omega\to\mathbb{R}\) di classe \(C^1\) tale che \(F = \nabla V\).

Poi esistono condizioni sufficienti (simili a quella da te citata) affinché un campo sia conservativo.
A essere semplicemente connesso, eventualmente, è il dominio \(\Omega\), non il campo. Se \(\Omega = \mathbb{R}^n\) (come avviene nel tuo caso per \(n=3\)) la semplice connessione è verificata.