Campo complesso: quando si annulla seno e coseno
Salve, sto facendo degli esercizi di analisi 3, ma per alcuni proprio non riesco a capire come si arriva alla soluzione.
Supponiamo di voler capire dove si annulla $f(z)=senz$
Essendo il $senz=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)$ sarà $senz=0$ sse $e^(iz)-e^(-iz)=0$ sse $iz=-iz+2ki\pi$ allora $z=-k\pi$ perchè mi trovo meno? Su internet vedo che si annulla per $k\pi$.
Per il $cosz=0$ non riesco proprio a proseguire...
Anche ad esempio $sen^2z$ questo sarà uguale a $((e^(iz)-e^(-iz))/(2i))^2=(e^(2iz)+e^(-2iz)-2e^0)/(-4)$ allora $senz=0$ sse $e^(2iz)+e^(-2iz)-2=0$ ma non so come arriva al risultato finale.
Spero che qualcuno possa aiutarmi a capire, grazie mille.
Supponiamo di voler capire dove si annulla $f(z)=senz$
Essendo il $senz=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)$ sarà $senz=0$ sse $e^(iz)-e^(-iz)=0$ sse $iz=-iz+2ki\pi$ allora $z=-k\pi$ perchè mi trovo meno? Su internet vedo che si annulla per $k\pi$.
Per il $cosz=0$ non riesco proprio a proseguire...
Anche ad esempio $sen^2z$ questo sarà uguale a $((e^(iz)-e^(-iz))/(2i))^2=(e^(2iz)+e^(-2iz)-2e^0)/(-4)$ allora $senz=0$ sse $e^(2iz)+e^(-2iz)-2=0$ ma non so come arriva al risultato finale.
Spero che qualcuno possa aiutarmi a capire, grazie mille.
Risposte
Visto che $k in ZZ$ è arbitrario, o scrivi $k$ o scrivi $-k$ è sempre lo stesso.
L'equazione $e^(2iz)+e^(-2iz)-2=0$ è una biquadratica che si risolve con tecniche apprese a scuola.
Inoltre, in generale, seno e coseno hanno nel campo complesso gli stessi zeri dello stesso ordine delle loro controparti reali.
L'equazione $e^(2iz)+e^(-2iz)-2=0$ è una biquadratica che si risolve con tecniche apprese a scuola.
Inoltre, in generale, seno e coseno hanno nel campo complesso gli stessi zeri dello stesso ordine delle loro controparti reali.
E' meno complicato di quanto sembra....
Pensa alla funzione seno , una funzione circolare che si annulla per valori di \( \pi \) e suoi multipli \(k\pi \) con \(k\in \mathbb{Z}\)....
Per i l coseno stessa storia considerando che si annulla per valori di \(\frac{\pi }{2}+k\pi \) e suoi multipli con \(k\in \mathbb{Z}\)....
Pensa alla funzione seno , una funzione circolare che si annulla per valori di \( \pi \) e suoi multipli \(k\pi \) con \(k\in \mathbb{Z}\)....
Per i l coseno stessa storia considerando che si annulla per valori di \(\frac{\pi }{2}+k\pi \) e suoi multipli con \(k\in \mathbb{Z}\)....
Io vi ringrazio tanto per la vostra attenzione, ma è inutile, nel svolgere non mi ci trovo. A parte $senz$ che mi perdevo per una vera banalità, $sen^2z$ non lo ritrovo, anche svolgendo l'equazione con le tecniche apprese a scuola.
Per $cosz$ è corretto? O è solo un caso?
Posto $e^i(z)=t$ avrò $t^2+1=0$ quindi $t=+-i$ $rArr e^(iz)=+-i$, in particolare $e^(iz)=i rArr iz=logi$
ma $logi=ln|i|+iArgi=i(pi/2+2kpi), k in ZZ$
Dunque $z=pi/2+2kpi$
Per $cosz$ è corretto? O è solo un caso?
Posto $e^i(z)=t$ avrò $t^2+1=0$ quindi $t=+-i$ $rArr e^(iz)=+-i$, in particolare $e^(iz)=i rArr iz=logi$
ma $logi=ln|i|+iArgi=i(pi/2+2kpi), k in ZZ$
Dunque $z=pi/2+2kpi$
Scusa, ma $sin^2 z=0$ se e solo se $sin z=0$, quindi non vedo quali altri conti servano...
Scusami ma non ho riportato l'esercizio completo. Poichè ho pensato che il problema stia all'origine ho voluto chiedere spiegazione in generale e non focalizzarmi sull'esercizio singolo. Scusatemi...
Comuque si chiede di
calcolare $sen^2w$ dove $w=ipiz$
Svolgendo $senz=0$ o $sen^2z=0$ io mi trovo con quanto dite voi, ma quando svolgo $sen^2w=0$ non mi trovo con il risultato del libro!
Allora ho pensato che io stia sbagliando tutto.
Riporto:
Il seno si annulla, in seguito ai calcoli e come confermato da voi, per $z=kpi$, quindi $sen(ipiz)=0 hArr ipiz=kpi rArr z=k/i$
Ma il risultato dice che $z=-ki$. A parte il $-k$ che come mi hai fatto notare è equivalente, per il resto non riesco a capire dove sbaglio....
Comuque si chiede di
calcolare $sen^2w$ dove $w=ipiz$
Svolgendo $senz=0$ o $sen^2z=0$ io mi trovo con quanto dite voi, ma quando svolgo $sen^2w=0$ non mi trovo con il risultato del libro!
Allora ho pensato che io stia sbagliando tutto.
Riporto:
Il seno si annulla, in seguito ai calcoli e come confermato da voi, per $z=kpi$, quindi $sen(ipiz)=0 hArr ipiz=kpi rArr z=k/i$
Ma il risultato dice che $z=-ki$. A parte il $-k$ che come mi hai fatto notare è equivalente, per il resto non riesco a capire dove sbaglio....
Ha semplicemente moltiplicato $\frac{k}{i}$ per $\frac{i}{i}$ 
si ottiene infatti $\frac{k}{i}=\frac{k}{i}*1=\frac{k}{i} \frac{i}{i}=\frac{ki}{i^2}=\frac{ki}{-1}=-ki$.
si ottiene infatti $\frac{k}{i}=\frac{k}{i}*1=\frac{k}{i} \frac{i}{i}=\frac{ki}{i^2}=\frac{ki}{-1}=-ki$.
Oh mio dio...e pensare che ho fatto tantissime volte questo passaggio in altri esercizi. Che stupida...
Grazie mille a tutti, e scusatemi tanto
Grazie mille a tutti, e scusatemi tanto
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