Campo complesso, integrali e limiti
Il 18 avrò la prova di fine corso di Analisi I
Sarebbe proprio una gran cosa poterla passare cosi da avere piu' tempo per fare altro. Ma ho veramente vari problemi nel risolvere
Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso
$(i -1)^4$
Oppure anche
Calcolare nel campo complesso
$(-27)^(1/3)$
Cosa significa? Come si procede
Passiamo però al problema piu' grande: limiti e integrali.
Niente da fare, proprio non riesco a risolverli nonostante mi metta con testa e pensiero oltre 2 ore al giorno. Su 30 me ne riescono solo un paio, eppure so tutte le formule.
Anche i piu' elementari mi risultano difficili:
$int((sqrt(x) -1)/sqrt(x))$
E per esempio questo limite
$ lim x->0 (e^2x - e ^-2x)/(sqrt(x)sin(sqrt(x)))$
Se potessimo iniziare con questi...grazie
Sarebbe proprio una gran cosa poterla passare cosi da avere piu' tempo per fare altro. Ma ho veramente vari problemi nel risolvere
Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso
$(i -1)^4$
Oppure anche
Calcolare nel campo complesso
$(-27)^(1/3)$
Cosa significa? Come si procede
Passiamo però al problema piu' grande: limiti e integrali.
Niente da fare, proprio non riesco a risolverli nonostante mi metta con testa e pensiero oltre 2 ore al giorno. Su 30 me ne riescono solo un paio, eppure so tutte le formule.
Anche i piu' elementari mi risultano difficili:
$int((sqrt(x) -1)/sqrt(x))$
E per esempio questo limite
$ lim x->0 (e^2x - e ^-2x)/(sqrt(x)sin(sqrt(x)))$
Se potessimo iniziare con questi...grazie
Risposte
dunque comincio a risponderti sperando di non dire cacchiate
allora l'integrale:
$int((sqrt(x)-1)/(sqrt(x))dx)$=
spezzi l'integrale in $int((sqrt(x)/(sqrt(x))dx$ - $int((1/(sqrt(x))dx$
il primo si semplifica è diventa integrale di dx che è x
per il secondo invece puoi trasformare la $sqrt(x)$ in $x^(1/2)$ che portato sopra diventa $x^(-(1/2))$ per cui hai l'integrale di quest'ultimo che sarebbe un intergale del tipo $x^(alfa)$ per cui diventa $x^(1/2)/(1/2)$ ovvero $sqrt(x)/(1/2)
per cui il tuo integrale finale sarà $x - 2sqrt(x) + c$ dove c è la costante arbitraria essendo un integrale indefinito
se ho sbagliato mi corregeranno stanne certo
ciao
allora l'integrale:
$int((sqrt(x)-1)/(sqrt(x))dx)$=
spezzi l'integrale in $int((sqrt(x)/(sqrt(x))dx$ - $int((1/(sqrt(x))dx$
il primo si semplifica è diventa integrale di dx che è x
per il secondo invece puoi trasformare la $sqrt(x)$ in $x^(1/2)$ che portato sopra diventa $x^(-(1/2))$ per cui hai l'integrale di quest'ultimo che sarebbe un intergale del tipo $x^(alfa)$ per cui diventa $x^(1/2)/(1/2)$ ovvero $sqrt(x)/(1/2)
per cui il tuo integrale finale sarà $x - 2sqrt(x) + c$ dove c è la costante arbitraria essendo un integrale indefinito
se ho sbagliato mi corregeranno stanne certo
ciao
L'integrale ho sbagliato a scriverlo
E'
$
sqrt(x)/(sqrt(x)-1)
$
E'
$
sqrt(x)/(sqrt(x)-1)
$
per il limite:
raccogli la x al numeratore e poi fai un cambio di variabile ponendo $sqrt(x)=y$ la soluzione allora diventa semplice
raccogli la x al numeratore e poi fai un cambio di variabile ponendo $sqrt(x)=y$ la soluzione allora diventa semplice
VINCENT: "L'integrale ho sbagliato a scriverlo....."
se è cosi
al numeratore aggiungi -1 +1 per cui diventa $(sqrt(x)-1+1)/(sqrt(x)-1)$...poi spezzi l'integrale come ho fatto su cosi hai una somma di due integrali di cui il primo si semplifica è diventa $int dx$ = x mentre il secondo diventa $int(1/(sqrt(x)-1))$ per cui risolvi quest'ultimo integrale e cio che ti esce lo sommi ad x.
a questi ci sommi sempre c per il motivo di prima
se è cosi
al numeratore aggiungi -1 +1 per cui diventa $(sqrt(x)-1+1)/(sqrt(x)-1)$...poi spezzi l'integrale come ho fatto su cosi hai una somma di due integrali di cui il primo si semplifica è diventa $int dx$ = x mentre il secondo diventa $int(1/(sqrt(x)-1))$ per cui risolvi quest'ultimo integrale e cio che ti esce lo sommi ad x.
a questi ci sommi sempre c per il motivo di prima
Per risolvere $int dx/(sqrt(x)-1) $ conviene operare per sostituzione ponendo $sqrt(x)=t $ , da cui $x=t^2 $: $dx=2tdt $.
L'integrale diventa $ 2 int dt/(t-1) $ che si risolve facilemnte.
L'integrale diventa $ 2 int dt/(t-1) $ che si risolve facilemnte.
e cosa vuol dire risolvere nel campo complesso?
Vuol dire trovare tutte le radici terze di $-27$ (e sì, in $CC$ ce n'è più d'una)...
Spulciando sul libro di testo, se ce l'hai, troverai una formulina: imparala ed usala, non è difficile.
Spulciando sul libro di testo, se ce l'hai, troverai una formulina: imparala ed usala, non è difficile.
E come si esprime i forma trigonometrica un numero complesso??
"Vincent":
Il 18 avrò la prova di fine corso di Analisi I....
E come si esprime i forma trigonometrica un numero complesso??
Vincent, per fare Analisi I (e anche tutto il resto) bisogna lavorarci sopra tre ore al giorno per 6 mesi (almeno). Non è richiesto alcun talento speciale. Solo costanza e applicazione. Non si può fare nei tempi ai quali ci ha abituato la TV, del tipo :"ci spieghi in trenta secondi per far capire ai telespettatori...". La matematica non si impara così. E nemmeno le altre scienze, umane o naturali che siano.
Un numero complesso in forma trigonometrica si esprime in modulo e argomento; Ad esempio se hai z= a+ ib ; il modulo di questo numero complesso è la radice di ( a quadro + b quadro), mentre per l'argomento alcuni fanno l'arcotangente di (b/a) e poi fanno considerazioni sul segno di a e di b; ma il modo più semplice secondo me è ragionare così: (Chiamiamo R il modulo del numero complesso): sai che a=R*cos alfa , e b=R*sen alfa, e dunque sapendo a, sapendo R puoi calcolarti il seno e il coseno di alfa(dove alfa è l'argomento del numero complesso, chiamato anche fase). Sapendo il seno e il coseno di quest'angolo sai esattamente il quadrante dove si colloca, e quindi se devi metterci il segno meno ecc...(mentre con la arcotangente non hai questa informazione).
Esempio: z= -3 + 4i ; Calcolare modulo e fase: R= 5. Sai che -3 =5 cos alfa => cos alfa= -3/5 e che 4=5 sen alfa => sen alfa = 4/5 ; Dunque se il coseno è negativo vuol dire che l'angolo si trova nel secondo o terzo quadrante; il seno positivo infine implica che l angolo si trova nel primo o secondo quadrante, dunque mettendo a sistema queste condizioni, si ottiene che l angolo appartiene al secondo quadrante; tutte queste informazioni danno che l'angolo è circa 126 gradi[l'arcoseno ti da un angolo positivo, ma sapendo che l angolo sta nel secondo quadrante devi calcolare TT - quell angolo]...P.S. forse quest esempio non era calzante perchè alla fine l angolo non è un angolo noto, come TT/2 o TT/4, quindi magari fatti questo e dimmi se ti riesce: z= i ; Calcolare modulo e fase.
Ciao!
P.S^2 : Ho appena visto il numero complesso che hai postato all inizio: per quello devi prima utilizzare le formule di DeMoivre, cioè devi prima calcolarne la radice di indice 4....e poi fare come ti ho detto io...
Esempio: z= -3 + 4i ; Calcolare modulo e fase: R= 5. Sai che -3 =5 cos alfa => cos alfa= -3/5 e che 4=5 sen alfa => sen alfa = 4/5 ; Dunque se il coseno è negativo vuol dire che l'angolo si trova nel secondo o terzo quadrante; il seno positivo infine implica che l angolo si trova nel primo o secondo quadrante, dunque mettendo a sistema queste condizioni, si ottiene che l angolo appartiene al secondo quadrante; tutte queste informazioni danno che l'angolo è circa 126 gradi[l'arcoseno ti da un angolo positivo, ma sapendo che l angolo sta nel secondo quadrante devi calcolare TT - quell angolo]...P.S. forse quest esempio non era calzante perchè alla fine l angolo non è un angolo noto, come TT/2 o TT/4, quindi magari fatti questo e dimmi se ti riesce: z= i ; Calcolare modulo e fase.
Ciao!
P.S^2 : Ho appena visto il numero complesso che hai postato all inizio: per quello devi prima utilizzare le formule di DeMoivre, cioè devi prima calcolarne la radice di indice 4....e poi fare come ti ho detto io...
Grazie mille per la tua delucidazione.
Riprendendo il mio esempio, ho quindi fatto
$z = 1 - 1$
$R = sqrt(1+1) = sqrt(2)$
Quindi so che
$1 = sqrt(2)*sin(a)$
$-1 = sqrt(2) * cos(a)$
Quindi avrò
$sin(a) = 1/(sqrt(2))$
$cos(a) = -1/(sqrt(2))$
Ma, se ho capito bene, il mio numero è elevato a 4, quindi con la formula di De Moivre, sarà
$z^4 = sqrt(2)^4 * (cos(4*a) + i *sin(4*a)$
Dunque ora devo rifare lo stesso procedimento solo considerando z^4 come numero da cui calcolare R?
Riprendendo il mio esempio, ho quindi fatto
$z = 1 - 1$
$R = sqrt(1+1) = sqrt(2)$
Quindi so che
$1 = sqrt(2)*sin(a)$
$-1 = sqrt(2) * cos(a)$
Quindi avrò
$sin(a) = 1/(sqrt(2))$
$cos(a) = -1/(sqrt(2))$
Ma, se ho capito bene, il mio numero è elevato a 4, quindi con la formula di De Moivre, sarà
$z^4 = sqrt(2)^4 * (cos(4*a) + i *sin(4*a)$
Dunque ora devo rifare lo stesso procedimento solo considerando z^4 come numero da cui calcolare R?
Direi che è giusto, però non ti fidare troppo : la mia capacità di ragionare è ridotta all'osso dato che ho una febbre assurda...se c'è qualcosa che non va, stai sicuro che ti correggeranno 
Ciao!
Ciao!
anzi no che dico...l angolo a adesso lo sai...il seno è positivo, il coseno è negativo; si tratta di 3/4 di pi greco; mettendo quest angolo nella formula di DeMoivre, hai 3 pigreco, che è la stessa cosa di pigreco; e in definitiva il tuo numero complesso avrà come modulo :radice di 2 alla quarta, e come angolo pigreco.
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