Campi vettoriali, rotore e potenziale: dov'è l'errore?

[Tanak]

Buongiorno,
Scrivo di nuovo dopo il grandissimo aiuto che ho ricevuto l'ultima volta, ma ora per cercare di dare un senso a ciò che c'è scritto nei miei appunti di Analisi II:
Al termine della parte sulle forme differenziali esatte e chiuse, e dopo aver dimostrato come si può ricavare in maniera celere la funzione potenziale in un dominio semplicemente connesso se la forma è Chiusa, il professore esordisce sui toni di «Ma mi sembra doveroso fare un opportu~no eserci~zio»:
Ciò che riesco a riottenere dagli appunti è questo:

è dato un campo vettoriale
[tex]\overrightarrow{F}(x,y,z)=f_1(x,y,z)\widehat{i}+f_2(x,y,z)\widehat{j}+f_3(x,y,z)\widehat{k}[/tex]
il cui rotore è
[tex]rot\overrightarrow{F} = \left (\frac{x}{x^2+y^2+z^2}-y+\cos x ;\frac{y}{x^2+y^2+z^2}-x+z^2-e^y; \frac{x}{x^2+y^2+z^2}+2yz \right )[/tex]
Ora, trovo scritto "Verifica che sia irrotazionale" (probabilmente seguente ad un suo «e potreste dimostrarvi da soli come sia irrotazionale»)
L'esercizio procede poi cercando una primitiva, atto che viene eseguito (secondo la formula semplificata per la funzione potenziale), utilizzando
[tex]\int_{x_0}^{x}f_1(t,y_0,z_0)dt + \int_{y_0}^{y}f_2(x_0,t,z_0)dt + \int_{z_0}^{z}f_3(x_0,y_0,t)dt[/tex]
Applicata nel punto [tex]P_0 = (x_0,y_0,z_0) = (1,0,0)[/tex] Poichè in [tex](0,0,0)[/tex] avremmo per tre volte (orrore!) dei casi di non convergenza di un integrale improprio.
Fin qui non ho problemi a seguirlo. Ma poi, nel mio quaderno, il professore avrebbe proseguito utilizzando, per [tex]f_1[/tex], [tex]f_2[/tex], [tex]f_3[/tex], le tre componenti del rotore, proseguendo perciò così:
[tex]u(x,y,z) = \int_{1}^{x}\left ( \frac{1}{t}+\cos t \right )dt + \int_{0}^{y}\left ( \frac{t}{x^2+t^2}-x-e^t \right )dt + \int_{0}^{z}\left ( \frac{t}{x^2+y^2+t^2}+2yt \right )dt = \cdots = \sin x - xy + yz^2 + \frac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2+z^2 \right ) - e^y + 1 - \sin(1)[/tex]
(ho omesso ciò che ha fatto nel mezzo perchè il mio problema non è nel calcolo, ma preferivo inserire tutte le fasi)

E finalmente (scusatemi la lunga premessa) passo al mio dubbio:
Il mio professore ha utilizzato le componenti x, y e z del rotore per poter ottenere il potenziale. È lecito farlo? La mia risposta immediata sarebbe "NO!", almeno, NON con il metodo che ci ha mostrato. Ovviamente però, non mi posso arrogare la certezza di aver ragione data la mia competenza in materia, per questo chiedo:

È possibile ricavare il potenziale partendo dal rotore?
Non è che il mio prof/io abbiamo compiuto qualche errore? (lui di chiarezza, e io di tutto il resto )[/list:u:xguuz6l8]
Oh, e giusto per capire anche questa: Per verificare che sia irrotazionale dovrei ricavarmi che le componenti del rotore siano nulle in ogni punto (x,y,z) dello spazio -anche perchè già nell'origine non varrebbe, mi sembra-, o ci sono altri metodi?

Grazie per l'attenzione, spero di essere stato abbastanza chiaro. In ogni caso, sarò pronto a chiarire.
-Giordano

[lucadileta1]

ciao tanak, per quanto riguarda la verifica dell'irrotazionabilità del tuo campo vettoriale io imposterei il calcolo imponendo le singole componenti scalari del tuo rotore uguale a zero e risolvendo il sistema di equazioni visto che affinchè il campo sia irrotazionale

$ nabla X F=0 $

spero di non aver detto stupidaggini, per quanto riguarda ottenere il potenziale dal rotore se il campo è irrotazionale è lecito ma non sono sicuro sulla classe di continuità che la funzione debba rispettare, presumo debba essere almeno di classe C2