Campi vettoriali e flusso

[Boyscoppito]

Salve, avrei bisogno di una mano con questo esercizio sui campi vettoriali:
\( F(x,y)=(\frac{2x}{x^2+y^2} ;\frac{2y}{x^2+y^2} + \frac{1}{2\sqrt{y+1} } ) \)
devo stabilire se è conservativo e calcolarne il flusso.
Per stabilire se è conservativo ho controllato che fosse semplicemente connesso e irrotazionale.
Il dominio è
\( x^2+y^2\neq 0 ; y+1> 0 \)
Risulta non semplicemente connesso.
Il campo vettoriale però è irrotazionale perchè:
\( \frac{\partial f1}{\partial y} = \frac{\partial f2}{\partial x} \)
A questo punto per vedere se è conservativo uso una curva es. circonferenza e pongo:

\( r(t) \begin{cases} x=cos\vartheta \\ y=sen\vartheta \end{cases} \) con \( \vartheta \in [0,2\pi ] \) e \( \Gamma \begin{cases} x=-sen\vartheta \\ y=cos\vartheta \end{cases} \)
risolvo l'integrale sostituendo le cordinate:
\( \int_{0}^{2\pi } (2cos\vartheta ;2sen\vartheta +\frac{1}{2\sqrt{sen\vartheta +1} } )(-sen\vartheta ;cos\vartheta ) \, d\vartheta \)
semplificando ottengo:
\( \int_{0}^{2\pi } \frac{cos\vartheta }{2\sqrt{sen\vartheta +1} } \, d\vartheta \)
mi sono bloccato qui, non sò come posso andare avanti e non sono sicuro al 100% dei miei passaggi.
Spero che qualcuno mi possa aiutare, grazie.

[bosmer-votailprof]

ma se derivi $sqrt{\sin \theta +1}$ ottieni esattamente l'argomento del tuo integrale... quindi la tua primitiva è appunto $\sqrt{\sin \theta +1}$ che valutata fra $0$ e $2\pi$ è pari a $0$ .

Ti torna ?