Campi vettoriali (analisi 2)

[valentina921]

Salve a tutti,
ho un problema con un esercizio, l'ho fatto ma i risultati che mi vengono sono sbagliati, e sono in disaccordo coi teoremi che ho studiato. Questo è il testo:

"Assegnato il campo vettoriale di tipo radiale $\vec E = \phi(r) {x, y, z}$, dove $r=sqrt(x^2+y^2+z^2)$ e $\phi(r) in C^1(R)$,
1)calcolare il flusso uscente dalla superficie sferica $\Sigma_R$ di centro l'origine e raggio R;
2)calcolare la divergenza $Div(E)$;
3)verificare, calcolando l'integrale triplo

$int int int_(B_R) Div(E)dxdydz$, $B_R: x^2+y^2+z^2<=R^2$ ,
la validità del teorema della divergenza. "

Nel dirvi come ho svolto il primo punto, vorrei capire se ho interpretato bene la notazione $\vec E = \phi(r) {x, y, z}$, dove $r=sqrt(x^2+y^2+z^2)$ e $\phi(r) in C^1(R)$. Io so che dato un campo $F$ e una superficie $\Sigma$ regolare parametrizzata da $s:D->RR^3$, il flusso di $F$ attraverso $\Sigma$ è dato da:

$int int_D F(x(u,v),y(u,v),z(u,v))*||s_u(u,v)xxs_v(u,v)|| dudv$
Ho parametrizzato $\Sigma_R$ utilizzando le coordinate sferiche, e quindi è:

$\{x=Rsen\phicos\theta),(y=Rsen\phisen\theta),(z=Rcos\phi):}$
$dxdydz=R^2 sen\phi d\phid\theta$

Il dubbio che ho adesso è che il flusso si calcola con un integrale doppio, mentre qua avrei 3 variabili di integrazione, quindi (non so se è giusto farlo) dato che il testo mi diceva "la sfera di raggio R" ho considerato la R come una costante e non come una variabile di integrazione, e quindi ho calcolato questo integrale doppio:

$int_0^\pi int_0^(2\pi) sqrt(R^2)*||s_\phixxs_\theta|| R^2sen\phi d\phid\theta=$
$=2\piR^7int_0^\pi sen^3\phi d\phi=8/3\phiR^7$ .

Fino a qua intanto, cosa non va?

Grazie in anticipo

Valentina

P.S. Un amministratore mi può rendere visibile quella riga che non si vede? Grazie

[ciampax]

Guarda che $R$ è fissato, mica è variabile. Non si legge bene la parametrizzazione, ma considerando cosa hai scritto per il modulo del vettore normale, mi sembra corretto. Non ho capito come hai calcolato l'integrale alla fine.

[valentina921]

Dunque, il prodotto vettoriale $||s_\\phi xx s_\theta||$ e tra i vettori tali che:
$s_\phi=(Rcos\phicos\theta,Rcos\phisen\theta,-Rsen\phi)$
$s_\theta=(-Rsen\phisen\theta,Rsen\phicos\theta,0)$
il prodotto vettoriale viene $R^4sen^2\phi$ , quindi l'integrale è $int_0^\pi int_0^(2\pi) R^7 sen^3\phi d\thetad\phi$ ,
e svolgendo i passaggi sono arrivata là..

[ciampax]

Allora: punto primo $||s_\phi\times s_\theta||=\sqrt{R^4\sin^2\phi}=R^2\sin\phi$. Poi, tu devi integrare il flusso, per cui, se $n$ è il versore normale e $s(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, con i parametri $u,v\in D\subset RR^2$ la parametrizzazione devi scrivere ("$\cdot$" è il prodotto scalare)

$\int\int_S (E\cdot n)\ d\sigma=\int\int_D E(u,v)\cdot n\ du\ dv$

In particolare $n={s_u\times s_v}/{||s_u\times s_v||}$ e quindi l'integrale giusto è

$\int\int_D E(u,v)\cdot{(s_u\times s_v)}/{||s_u\times s_v||}\ ||s_u\times s_v||\ du\ dv=\int\int_D E(u,v)\cdot(s_u\times s_v)\ du\ dv$.

Era questo che intendevo.