Campi scalari
Riflettevo sulle notazioni in merito alle funzioni di più variabili.
Molto spesso una funzione $f:A->RR$ data su un sottoinsieme $A$ di $RR^n$ Si usa come dominio lo spazio vettoriale ma se dobbiamo parlare di punti non è meglio definirle su spazi affini associati a una giacitura come uno spazio euclideo?
Molto spesso una funzione $f:A->RR$ data su un sottoinsieme $A$ di $RR^n$ Si usa come dominio lo spazio vettoriale ma se dobbiamo parlare di punti non è meglio definirle su spazi affini associati a una giacitura come uno spazio euclideo?
Risposte
Risposta breve: non cambia nulla, perché \(f\) dipende solo dai punti di \(A\), non da nessun'altra struttura.
Risposta lunga: è una riflessione che ho fatto spesso anche io, e poi mi sono accorto che è alla base della geometria differenziale. Comunque la risposta è affermativa, puoi pensare ai punti di \(\mathbb R^n\) come distinti dai vettori di \(\mathbb R^n\), anche se poi nei calcoli concreti le due cose coincidono.
Quando studi il calcolo differenziale su varietà capisci davvero quali sono le proprietà dei punti e quali quelle dei vettori. (Dopo che lo hai capito lo metti da parte e torni a ragionare in termini di \(\mathbb R^n\) perché è più facile.
)
Risposta lunga: è una riflessione che ho fatto spesso anche io, e poi mi sono accorto che è alla base della geometria differenziale. Comunque la risposta è affermativa, puoi pensare ai punti di \(\mathbb R^n\) come distinti dai vettori di \(\mathbb R^n\), anche se poi nei calcoli concreti le due cose coincidono.
Quando studi il calcolo differenziale su varietà capisci davvero quali sono le proprietà dei punti e quali quelle dei vettori. (Dopo che lo hai capito lo metti da parte e torni a ragionare in termini di \(\mathbb R^n\) perché è più facile.
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È sempre un sollievo vedere ‘dissonance’ tra le risposte 
Si sicuramente ai fini dei calcoli è la stessa cosa, però è proprio una cosa che non mi scende a livello formale.
Tanto che quando parlo di spazi affini su se stesso, se considero $RR^n$ tendo a privare di qualsiasi struttura lo spazio affine, tranne appunto quella di spazio affine e sottolineare che la giacitura sia qualcosa di del tutto distinto scrivendo $RR_V^n$
Anche perché io tendo a vedere direttamente le funzioni da un altro punto di vista:
$f:A->RR$ con $(A,V)$ spazio affine e su questa struttura studio il calcolo differenziale in più variabili e chiaramente tutto torna.
Penso che sempre che Matematica abbia una gran eleganza, e queste piccole cose, gliela danno.
Chiaramente estenderò i miei concetti andando avanti negli studi, ma mi piace avere basi solide.
Si sicuramente ai fini dei calcoli è la stessa cosa, però è proprio una cosa che non mi scende a livello formale.
Tanto che quando parlo di spazi affini su se stesso, se considero $RR^n$ tendo a privare di qualsiasi struttura lo spazio affine, tranne appunto quella di spazio affine e sottolineare che la giacitura sia qualcosa di del tutto distinto scrivendo $RR_V^n$
Anche perché io tendo a vedere direttamente le funzioni da un altro punto di vista:
$f:A->RR$ con $(A,V)$ spazio affine e su questa struttura studio il calcolo differenziale in più variabili e chiaramente tutto torna.
Penso che sempre che Matematica abbia una gran eleganza, e queste piccole cose, gliela danno.
Chiaramente estenderò i miei concetti andando avanti negli studi, ma mi piace avere basi solide.
Trovo che sia un buon esercizio (che si giunge a padroneggiare solo dopo molti anni) rendere esplicita l'identificazione tra uno spazio affine e uno spazio vettoriale; visto che apparentemente ti interessa temperare tutte le matite per bene, e un certo approccio generale non può che farti bene, prova a mostrarlo in maniera indipendente dal campo di base, specializzandolo poi al caso in cui $K=RR$ oppure $CC$.
L'idea (come dicevo altrove giorni fa) è che uno spazio affine risulta dall'aver fatto agire il gruppo $(V, +)$ su un insieme $\mathbb A$ in maniera strettamente transitiva (il che significa che dati due elemente $P,Q$ di $\mathbb A$ esiste uno e un solo $v\in V$ tale che $P.v=Q$ (è usuale indicare l'azione come una somma, cosicché $P+v=Q$, così come è usuale indicare $V=Q-P$ con l'abuso di notazione che ti hanno inculcato alle medie e che, purtroppo, è difficile togliere dalla testa della gente).
Ora, qual è il motivo per cui è così facile evitare di distinguere uno spazio affine da uno spazio vettoriale? Essenzialmente che le due nozioni si somigliano molto: da un lato, è chiaro come far agire $V$ sull'insieme sottostante a $V$ stesso; se $p,q$ sono elementi di $V$, cioè vettori, è quasi tautologico che esiste un'unico $v$ (la loro differenza) per cui $p+v=q$. D'altra parte, la richiesta che l'azione sia strettamente transitiva implica praticamente per definizione che dato uno spazio affine $\mathbb A$ si può ottenere da lui uno (in effetti tanti quanti sono gli elementi di $A$) spazio vettoriale, prendendo un singolo elemento $P\in A$ e la sua orbita $P+V$; questo sottoinsieme di $\mathbb A$ è tautologicamente isomorfo a $V$, e il fatto che si possa scegliere $P$ arbitrariamente è esattamente la formalizzazione del fatto che "uno spazio affine non esiste una origine privilegiata".
Se però spazi vettoriali e spazi affini si somigliano così tanto, allora, dove sta la differenza tra loro? Sono i morfismi a rendere diverse queste due categorie
dato che gli spazi affini sono particolari insiemi con una azione di uno spazio vettoriale, la cosa più sensata da chiedere è che i morfismi $f : \mathbb A\to \mathbb B$ tra spazi affini siano mappe lineari che sono "insensibili all'avere spostato l'origine". Questo porta alla definizione di una mappa affine: è praticamente una funzione lineare, a meno del fatto che non deve essere vero che $f(0)=0$ (e una tale $f$ è univocamente determinata da dove manda lo zero, o per essere più precisi da una coppia $(\varphi, P)$, dove $\varphi$ è lineare, e $P=f(0)$).
Ci sono molte caratterizzazioni alternative, comunque, che privilegiano uno o l'altro aspetto della definizione di uno spazio affine; un'altra maniera di vederla è che la vera nozione a cui appigliarsi è quella di spazio proiettivo; uno spazio affine è ciò che ottieni da uno spazio proiettivo $\mathbb P^n$ quando lo "scompatti" rimuovendogli un iperpiano $H$. Questa procedura non è molto diversa da quella che si applica ad una sfera quando le si rimuove un punto e la si proietta stereograficamente su $RR^n$ (e questo non è un caso, dal momento che gli spazi proiettivi, perlomeno reali, complessi e quaternionici, sono opportuni quozienti di sfere).
Una altra caratterizzazione molto sintetica è questa: uno spazio affine su un campo $K$ equivale al dato di una mappa lineare e suriettiva $S: V\to K$; prova a dimostrare che effettivamente questo è equivalente a dare un insieme $A$ (sugg.: prendi la fibra $S^{-1}(1_K)$) e uno spazio vettoriale che agisce in maniera strettamente transitiva su $A$! E soprattutto, continua a farti spiegare le definizioni dagli analisti, continua!
L'idea (come dicevo altrove giorni fa) è che uno spazio affine risulta dall'aver fatto agire il gruppo $(V, +)$ su un insieme $\mathbb A$ in maniera strettamente transitiva (il che significa che dati due elemente $P,Q$ di $\mathbb A$ esiste uno e un solo $v\in V$ tale che $P.v=Q$ (è usuale indicare l'azione come una somma, cosicché $P+v=Q$, così come è usuale indicare $V=Q-P$ con l'abuso di notazione che ti hanno inculcato alle medie e che, purtroppo, è difficile togliere dalla testa della gente).
Ora, qual è il motivo per cui è così facile evitare di distinguere uno spazio affine da uno spazio vettoriale? Essenzialmente che le due nozioni si somigliano molto: da un lato, è chiaro come far agire $V$ sull'insieme sottostante a $V$ stesso; se $p,q$ sono elementi di $V$, cioè vettori, è quasi tautologico che esiste un'unico $v$ (la loro differenza) per cui $p+v=q$. D'altra parte, la richiesta che l'azione sia strettamente transitiva implica praticamente per definizione che dato uno spazio affine $\mathbb A$ si può ottenere da lui uno (in effetti tanti quanti sono gli elementi di $A$) spazio vettoriale, prendendo un singolo elemento $P\in A$ e la sua orbita $P+V$; questo sottoinsieme di $\mathbb A$ è tautologicamente isomorfo a $V$, e il fatto che si possa scegliere $P$ arbitrariamente è esattamente la formalizzazione del fatto che "uno spazio affine non esiste una origine privilegiata".
Se però spazi vettoriali e spazi affini si somigliano così tanto, allora, dove sta la differenza tra loro? Sono i morfismi a rendere diverse queste due categorie
dato che gli spazi affini sono particolari insiemi con una azione di uno spazio vettoriale, la cosa più sensata da chiedere è che i morfismi $f : \mathbb A\to \mathbb B$ tra spazi affini siano mappe lineari che sono "insensibili all'avere spostato l'origine". Questo porta alla definizione di una mappa affine: è praticamente una funzione lineare, a meno del fatto che non deve essere vero che $f(0)=0$ (e una tale $f$ è univocamente determinata da dove manda lo zero, o per essere più precisi da una coppia $(\varphi, P)$, dove $\varphi$ è lineare, e $P=f(0)$).Ci sono molte caratterizzazioni alternative, comunque, che privilegiano uno o l'altro aspetto della definizione di uno spazio affine; un'altra maniera di vederla è che la vera nozione a cui appigliarsi è quella di spazio proiettivo; uno spazio affine è ciò che ottieni da uno spazio proiettivo $\mathbb P^n$ quando lo "scompatti" rimuovendogli un iperpiano $H$. Questa procedura non è molto diversa da quella che si applica ad una sfera quando le si rimuove un punto e la si proietta stereograficamente su $RR^n$ (e questo non è un caso, dal momento che gli spazi proiettivi, perlomeno reali, complessi e quaternionici, sono opportuni quozienti di sfere).
Una altra caratterizzazione molto sintetica è questa: uno spazio affine su un campo $K$ equivale al dato di una mappa lineare e suriettiva $S: V\to K$; prova a dimostrare che effettivamente questo è equivalente a dare un insieme $A$ (sugg.: prendi la fibra $S^{-1}(1_K)$) e uno spazio vettoriale che agisce in maniera strettamente transitiva su $A$! E soprattutto, continua a farti spiegare le definizioni dagli analisti, continua!
(Per chi fosse interessato a un esercizio più concettuale: la categoria degli spazi affini non è equivalente a quella degli spazi vettoriali. Qual è il motivo, e per quale motivo mandare $V$ nel suo spazio affine tautologico $(|V|, V)$ e uno spazio affine nello spazio vettoriale $P+V$ non può costituire un'equivalenza di categorie -sui morfismi si fa la cosa ovvia: si manda una mappa affine nella sua parte lineare dimenticando $f(0)$-).
È sempre illuminante leggere ciò che hai da dire.
• sei d’accordo con quanto ho scritto in merito alla dimostrazione?
• tranquillo, ho studiato sempre matematica da autodidatta, tutto ciò che so l’ho imparato senza lezioni(ho avuto uno strano trascorso scolastico). L’interesse non è apparente, dai, dovresti averlo notato mi offendi cosi! 
• faró ciò che hai suggerito
• cosa è quel simbolo nello spoiler che segue $K^n$?
• ‘sta teoria delle categorie sta cominciando a interessarmi
• sei d’accordo con quanto ho scritto in merito alla dimostrazione?
• tranquillo, ho studiato sempre matematica da autodidatta, tutto ciò che so l’ho imparato senza lezioni(ho avuto uno strano trascorso scolastico). L’interesse non è apparente, dai, dovresti averlo notato
mi offendi cosi! • faró ciò che hai suggerito
• cosa è quel simbolo nello spoiler che segue $K^n$?
• ‘sta teoria delle categorie sta cominciando a interessarmi
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