Campi nulli sul bordo

[Dobrogost]

Dubbio veloce che mi è venuto facendo esercizi di Analisi II.
Si abbia un campo vettoriale $\vec{F}$ che sia $C^{\infty}$ e nullo al di fuori della palla di $\mathbb{R}^3$ di raggio $1$. Posso dire che $\vec{F}$ è nullo sulla frontiera della palla? Tengo a precisare che la palla considerata dall'esercizio è chiusa.
La risposta, stando alla soluzione dell'esercizio e al buon senso, dovrebbe essere sì. Ma è così? Mi sto facendo solo delle gran paranoie da perfezionista?

[otta96]

Si puoi dirlo, e basta anche molto meno, è sufficiente la continuità della funzione, se hai presente il modo topologico di formularle la continuità, basta che consideri $A=F^(-1)(0)$, (la retroimmagine), dato che ${0}$ è chiuso, anche $A$ risulterà chiuso per la continuità di $F$, quindi $A$ è un chiuso che include il complementare della palla chiusa, quindi includerà anche la sua chiusura, cioè il complementare della palla chiusa unito con la frontiera della palla, che non vuol dire altro che $F$ si annulla sulla frontiera della palla.

[dissonance]

@otta96: bella la topologia, eh?

A me però questa infatuazione è passata già da alcuni anni. Oggi scriverei semplicemente che, siccome \(F\) è continua, se \(x_n \to x_0\) e \(|x_n|>1, |x_0|=1\) allora \(F(x_0)=\lim_{n\to\infty} F(x_n) = 0\).

[otta96]

"dissonance":@otta96: bella la topologia, eh?

Si decisamente, mi ci sono appassionato abbastanza

A me però questa infatuazione è passata già da alcuni anni. Oggi scriverei semplicemente che, siccome \(F\) è continua, se \(x_n \to x_0\) e \(|x_n|>1, |x_0|=1\) allora \(F(x_0)=\lim_{n\to\infty} F(x_n) = 0\).

Carina anche la tua dimostrazione, ha anche il pregio di essere comprensibile da chi non conosce la topologia.

[killing_buddha]

La prima dimostrazione ha il pregio di adattarsi anche a contesti dove la topologia non è determinata dalle successioni