Campi non archimedei e varie completezze
[Premesso che questo post non sapevo dove metterlo perchè tra l analisi e l algebra... ma alla fine crediamo davvero ancora in queste nette categorie? 
]
Sia (K,<) un campo ordinato.
Il teorema che ho già dimostrato afferma l' equivalenza delle seguenti:
1) K è Dedekind-completo (upperbound proprierty)
2) K è archimedeo E Cauchy-completo (ogni successione di Cauchy converge)
Dunque, cercando esempi utili per evidenziare la necessità delle ipotesi, $QQ$ è un esempio di campo archimedeo, non cauchy e quindi non-dedekind, e tutto è abbastanza facile.
Quello che sto cercando ed è il motivo per cui vi scrivo è trovare un esempio di campo non-archimedo, Cauchy-completo e quindi non Dedekind-completo.
Come unico esempio di campo non archimedeo mi è venuto in mente il campo delle frazioni Q(x), ma sinceramente non riuscirei a provare la cauchy-completezza...
se potete essermi di aiuto, grazie.
Daniele.
]Sia (K,<) un campo ordinato.
Il teorema che ho già dimostrato afferma l' equivalenza delle seguenti:
1) K è Dedekind-completo (upperbound proprierty)
2) K è archimedeo E Cauchy-completo (ogni successione di Cauchy converge)
Dunque, cercando esempi utili per evidenziare la necessità delle ipotesi, $QQ$ è un esempio di campo archimedeo, non cauchy e quindi non-dedekind, e tutto è abbastanza facile.
Quello che sto cercando ed è il motivo per cui vi scrivo è trovare un esempio di campo non-archimedo, Cauchy-completo e quindi non Dedekind-completo.
Come unico esempio di campo non archimedeo mi è venuto in mente il campo delle frazioni Q(x), ma sinceramente non riuscirei a provare la cauchy-completezza...
se potete essermi di aiuto, grazie.
Daniele.
Risposte
Buh, ho provato a dare un'occhiatina al libro "Handbook of Analysis and its Foundations" di Schechter ma non ho cavato un ragno dal buco. Però sono convinto che lì da qualche parte c'è un esempio che fa al caso tuo.
Forse sbaglio: \(\displaystyle\mathbb{C}\) parzialmente ordinato secondo l'ordine lessicografico?
nono, quello non è neanche un campo ordinato... (per essere campo ordinato deve anche avere compatibilità con le operazioni..)
"Daniele Florian":
[Premesso che questo post non sapevo dove metterlo perchè tra l analisi e l algebra... ma alla fine crediamo davvero ancora in queste nette categorie?
Sia (K,<) un campo ordinato.
Il teorema che ho già dimostrato afferma l' equivalenza delle seguenti:
1) K è Dedekind-completo (upperbound proprierty)
2) K è archimedeo E Cauchy-completo (ogni successione di Cauchy converge)
Dunque, cercando esempi utili per evidenziare la necessità delle ipotesi, $QQ$ è un esempio di campo archimedeo, non cauchy e quindi non-dedekind, e tutto è abbastanza facile.
Quello che sto cercando ed è il motivo per cui vi scrivo è trovare un esempio di campo non-archimedo, Cauchy-completo e quindi non Dedekind-completo.
Come unico esempio di campo non archimedeo mi è venuto in mente il campo delle frazioni Q(x), ma sinceramente non riuscirei a provare la cauchy-completezza...
se potete essermi di aiuto, grazie.
Daniele.
Il campo non Archimedeo completo (secondo Cauchy, o Scott-completo come lo chiamano altri) più semplice è il campo di Levi-Civita. Puoi trovare la sua definizione su Wikipedia in inglese.
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