Campi conservativi e potenziali scalari.
Buongiorno, ho un dubbio su un esercizio.
Mi chiede se $F$ ammette potenziale scalare su un certo insieme. Ho già dimostrato che è conservativo: dalla teoria so che se è connesso per archi ed è di classe $C^1$ allora è conservativo se e solo se è irrotazionale. Ok.
$F(x,y)=(-y+3x)/(x^2+y^2),(x+3y)/(x^2+y^2)$
Il dominio su cui mi chiede di stabilire se ammette potenziale scalare è $A=(1,2)X(1,2)$
A me verrebbe da pensare che essendo un quadrato ho una curva chiusa e calcolando i potenziali sulle 4 rette $y=1,x=t$ con $ tin(1,2)$ , $y=t,x=2$ con $tin(1,2)$ , $y=2,x=-t$ con $tin(1,2)$ (percorro la curva in senso antiorario , quindi questo segmento è opposto) e $y=-t,x=1$ con $tin(1,2)$ noto che sono uguali e quindi il potenziale è zero.
Poi me lo chiede su un altro insieme $R^2-(0,0)$ e qui invece mi sorge un dubbio: è ancora connesso per archi? Posso a priori dire che esiste un potenziale? Perchè un esempio sugli appunti mi dimostra che un campo vettoriale avente quel dominio non è conservativo.
Mi chiede se $F$ ammette potenziale scalare su un certo insieme. Ho già dimostrato che è conservativo: dalla teoria so che se è connesso per archi ed è di classe $C^1$ allora è conservativo se e solo se è irrotazionale. Ok.
$F(x,y)=(-y+3x)/(x^2+y^2),(x+3y)/(x^2+y^2)$
Il dominio su cui mi chiede di stabilire se ammette potenziale scalare è $A=(1,2)X(1,2)$
A me verrebbe da pensare che essendo un quadrato ho una curva chiusa e calcolando i potenziali sulle 4 rette $y=1,x=t$ con $ tin(1,2)$ , $y=t,x=2$ con $tin(1,2)$ , $y=2,x=-t$ con $tin(1,2)$ (percorro la curva in senso antiorario , quindi questo segmento è opposto) e $y=-t,x=1$ con $tin(1,2)$ noto che sono uguali e quindi il potenziale è zero.
Poi me lo chiede su un altro insieme $R^2-(0,0)$ e qui invece mi sorge un dubbio: è ancora connesso per archi? Posso a priori dire che esiste un potenziale? Perchè un esempio sugli appunti mi dimostra che un campo vettoriale avente quel dominio non è conservativo.
Risposte
Ho la sensazione tu non abbia molto chiaro cosa significano le cose che hai detto.
Questo ad esempio è falso; il dominio deve essere semplicemente connesso
Se non lo sai, non hai capito cosa significa "connesso per archi".
è conservativo se e solo se è irrotazionale.
Questo ad esempio è falso; il dominio deve essere semplicemente connesso
e qui invece mi sorge un dubbio: è ancora connesso per archi?
Se non lo sai, non hai capito cosa significa "connesso per archi".
Sia $A ⊂ R^3$ un insieme semplicemente connesso ed $F : A → R^3$ un campo di classe $C^1$ : Il campo F è conservativo se e solo se è irrotazionale.
La mia funzione è di classe $C^1$ ed il dominio è semplicemente connesso se è connesso per archi, sbaglio? Connesso per archi non vuol dire che i punti del dominio, presi a due a due, possono essere connessi attraverso un arco con estremi quei punti? L'insieme A soddisfa le condizioni, ma è una curva chiusa, quindi il potenziale è zero?
Mentre l'altro insieme (B) che non contiene lo zero, non è connesso per archi perchè è come se ci fosse un buco. Non lo so non ho ben chiaro il concetto probabilmente...
La mia funzione è di classe $C^1$ ed il dominio è semplicemente connesso se è connesso per archi, sbaglio? Connesso per archi non vuol dire che i punti del dominio, presi a due a due, possono essere connessi attraverso un arco con estremi quei punti? L'insieme A soddisfa le condizioni, ma è una curva chiusa, quindi il potenziale è zero?
Mentre l'altro insieme (B) che non contiene lo zero, non è connesso per archi perchè è come se ci fosse un buco. Non lo so non ho ben chiaro il concetto probabilmente...
"vivi96":
il dominio è semplicemente connesso se è connesso per archi, sbaglio?
Sì, sbagli. $S^1$ è connesso per archi, ma.
Ma?
Ho capito, quindi non vale il teorema. Però posso dire che, essendo il dominio in cui è definita F aperto e connesso per archi, il campo è conservativo e quindi ammette potenziale?
Nell'insieme A invece è semplicemente connesso e quindi so che ammette potenziale, è giusto calcolarlo nel modo in cui ho pensato io? Perchè ora mi sorge il dubbio che il potenziale scalare da trovare li non sia da calcolare sul bordo, ma potrei trovare un'altra curva che appartiene a quell'insieme e dimostrare che invece non è zero..
Mi spiace, ma sono confusa. Per quanto riguardi la teoria, se non ho un confronto mi viene difficile darmi da sola le risposte
Nell'insieme A invece è semplicemente connesso e quindi so che ammette potenziale, è giusto calcolarlo nel modo in cui ho pensato io? Perchè ora mi sorge il dubbio che il potenziale scalare da trovare li non sia da calcolare sul bordo, ma potrei trovare un'altra curva che appartiene a quell'insieme e dimostrare che invece non è zero..
Mi spiace, ma sono confusa. Per quanto riguardi la teoria, se non ho un confronto mi viene difficile darmi da sola le risposte
@vivi96 leggiti questo thread...in particolare la risposta di gugo.
Il discorso è identico anche per questo campo vettoriale: è un campo gradiente il cui potenziale è $3/2ln(x^2+y^2)-tan^(-1)(x/y)+c$. E' una forma esatta nel dominio $R^2-(0,0)$ (è un campo conservativo, quindi irrotazionale).
Il discorso è identico anche per questo campo vettoriale: è un campo gradiente il cui potenziale è $3/2ln(x^2+y^2)-tan^(-1)(x/y)+c$. E' una forma esatta nel dominio $R^2-(0,0)$ (è un campo conservativo, quindi irrotazionale).
Non mi fa andare sul sito che mi hai consigliato! Grazie!! 
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