Campi conservativi criteri.
Ciao a tutti ho questo problema,se un campo è conservativo deve appartenere alla $C1$ e deve essere tale che $F= nabla (U)
Ora,so che i campi conservativi sono anche irrotazionali,il mio dubbio sorge guardando due esercizi:
$F=((-y/(x^2+y^2))i +(x/(x^2+y^2))j)$
$F=((x/(x^2+y^2))i+(y/(x^2+y^2))j)
Ora i campi sono definiti in $Omega=R^2 ,(x,y)\ne{0,0}
Ora se volessi calcolare la circuitazione lungo una circonferenza parametrizzata con $r(t)=(cos(t) ; sin(t)) in [0,2pi]
Nella prima mi accorgo che la circuitazione non è nulla,mentre nella seconda è nulla(eppure le caratteristiche dei due campi sono uguali,campo di esistenza e irrotazionalità).
Non riesco a capire il perchè,potreste aiutarmi?
Ora,so che i campi conservativi sono anche irrotazionali,il mio dubbio sorge guardando due esercizi:
$F=((-y/(x^2+y^2))i +(x/(x^2+y^2))j)$
$F=((x/(x^2+y^2))i+(y/(x^2+y^2))j)
Ora i campi sono definiti in $Omega=R^2 ,(x,y)\ne{0,0}
Ora se volessi calcolare la circuitazione lungo una circonferenza parametrizzata con $r(t)=(cos(t) ; sin(t)) in [0,2pi]
Nella prima mi accorgo che la circuitazione non è nulla,mentre nella seconda è nulla(eppure le caratteristiche dei due campi sono uguali,campo di esistenza e irrotazionalità).
Non riesco a capire il perchè,potreste aiutarmi?
Risposte
Perchè l'essere irrotazionale è solo una condizione necessaria all'essere conservativo, ma non è affatto sufficiente.
Quindi esistono campi irrotazionali che non sono conservativi: ciò accade, ad esempio, quando il dominio del campo non è semplicemente connesso, proprio come nel caso in esame.
Quindi esistono campi irrotazionali che non sono conservativi: ciò accade, ad esempio, quando il dominio del campo non è semplicemente connesso, proprio come nel caso in esame.
Ok,potresti spiegarmi perchè non è semplicemente connesso?Ho capito il concetto di semplicemente connesso ma ecco non capisco come tu abbia potuto capirlo.
In soldoni, un dominio di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] è semplicemente connesso quando "non ha buchi".
In questo caso il dominio è [tex]$\mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0)\}$[/tex], quindi...
In questo caso il dominio è [tex]$\mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0)\}$[/tex], quindi...
Si quello lo avevo capito però il fatto è che tutte e due i campi hanno lo stesso dominio e su tutti e due calcolo la circuitazione lungo la circonferenza medesima,però uno viene 0 e l'altro viene diverso,è questo che non riesco a capire,scusami ma è tutto il giorno che mi sto scervellando!
gugo82, non c'è 2 senza 3! 
"Skan":
Si quello lo avevo capito però il fatto è che tutte e due i campi hanno lo stesso dominio e su tutti e due calcolo la circuitazione lungo la circonferenza medesima,però uno viene 0 e l'altro viene diverso,è questo che non riesco a capire,scusami ma è tutto il giorno che mi sto scervellando!
Credo di aver già risposto:
"gugo82":
Perchè l'essere irrotazionale è solo una condizione necessaria all'essere conservativo, ma non è affatto sufficiente.
Quindi esistono campi irrotazionali che non sono conservativi: ciò accade, ad esempio, quando il dominio del campo non è semplicemente connesso, proprio come nel caso in esame.
Cosa non ti è chiaro del primo periodo?
Non mi è chiaro il fatto che comunque tutti e due i domini hanno "il buco" al centro ma la circuitazione sulla stessa curva non è nulla in uno dei casi,da dove lo capisco?Geometricamente in cosa differiscono?
In nulla.
Infatti, il problema è che l'irrotazionalità è condizione necessaria e non sufficiente alla conservatività nei domini "bucati" (o non semplicemente connessi); e questi due campi sono un perfetto esempio per questo fatto.
Infatti, il problema è che l'irrotazionalità è condizione necessaria e non sufficiente alla conservatività nei domini "bucati" (o non semplicemente connessi); e questi due campi sono un perfetto esempio per questo fatto.
ok,mettiamola così:mi danno questi due campi e mi chiedono di capire quale dei due sia conservativo nel campo di esistenza,come arrivo a capire che il primo non è conservativo e il secondo lo e'?
Svolgendo l'integrale lungo una qualsiasi curva che circonda l'origine, in particolare lungo una circonferenza.
Oppure notando che una primitiva del secondo si determina subito (ad esempio [tex]$\tfrac{1}{2}\ \ln (x^2+y^2)$[/tex]), mentre ottenere una primitiva del secondo è più laborioso...
Oppure notando che una primitiva del secondo si determina subito (ad esempio [tex]$\tfrac{1}{2}\ \ln (x^2+y^2)$[/tex]), mentre ottenere una primitiva del secondo è più laborioso...
OOOk,Penso di aver capito un ultima domanda e poi ti lascio respirare =P allora:
In quella più facile se integro rispetto a $dx$ e $dy$ esce per entrambe $f(x,y)=1/2 ln(x^2+y^2)$ con rispettive costanti d'integrazione uguali a $c(y)$ e $c(x)$ e ponendole uguali e uguali a zero il potenziale locale è dato da: $U(x,y)=1/2 ln(x^2+y^2)$ e questo ok,nell'altro caso c'e' un problema: se integro la prima e la seconda ottengo due f(x,y) diverse rispettivamente $-arctan(x/y)$ e $arctan(y/x)$ ora,Il poteziale locale da cosa è dato?Dalla semplice somma algebrica dei due potenziali?
In quella più facile se integro rispetto a $dx$ e $dy$ esce per entrambe $f(x,y)=1/2 ln(x^2+y^2)$ con rispettive costanti d'integrazione uguali a $c(y)$ e $c(x)$ e ponendole uguali e uguali a zero il potenziale locale è dato da: $U(x,y)=1/2 ln(x^2+y^2)$ e questo ok,nell'altro caso c'e' un problema: se integro la prima e la seconda ottengo due f(x,y) diverse rispettivamente $-arctan(x/y)$ e $arctan(y/x)$ ora,Il poteziale locale da cosa è dato?Dalla semplice somma algebrica dei due potenziali?
I potenziali del secondo campo sono del tipo [tex]$f(x,y)+C$[/tex], con [tex]$f(x,y)=\ln \sqrt{x^2+y^2}$[/tex] e [tex]$C$[/tex] costante arbitraria, ed essi sono globali, nel senso che sono definiti in tutto [tex]$\mathbb{R}^2\setminus \{ (0,0)\}$[/tex].
I potenziali del primo campo sono definiti al massimo nei semipiani [tex]$\{ x>0\}$[/tex], [tex]$\{ x<0\}$[/tex], [tex]$\{ y>0\}$[/tex] o [tex]$\{ y<0\}$[/tex]; nei primi due essi sono del tipo [tex]$\arctan \tfrac{y}{x}+C$[/tex], nei secondi due sono del tipo [tex]$-\arctan \tfrac{x}{y} +C$[/tex] e, per quanto detto, nessuno di tali potenziali è globale.
La cosa divertente è che se ti restringi al primo quadrante (ad esempio), allora comunque fissi [tex]$\lambda \in \mathbb{R}$[/tex], la funzione [tex]$U(x,y)=\lambda \arctan \tfrac{y}{x} -(1-\lambda) \arctan \tfrac{x}{y} +C$[/tex] è ancora un potenziale.
I potenziali del primo campo sono definiti al massimo nei semipiani [tex]$\{ x>0\}$[/tex], [tex]$\{ x<0\}$[/tex], [tex]$\{ y>0\}$[/tex] o [tex]$\{ y<0\}$[/tex]; nei primi due essi sono del tipo [tex]$\arctan \tfrac{y}{x}+C$[/tex], nei secondi due sono del tipo [tex]$-\arctan \tfrac{x}{y} +C$[/tex] e, per quanto detto, nessuno di tali potenziali è globale.
La cosa divertente è che se ti restringi al primo quadrante (ad esempio), allora comunque fissi [tex]$\lambda \in \mathbb{R}$[/tex], la funzione [tex]$U(x,y)=\lambda \arctan \tfrac{y}{x} -(1-\lambda) \arctan \tfrac{x}{y} +C$[/tex] è ancora un potenziale.
Ma quando consideri un semipiano una delle variabili è 0?
"Skan":
Ma quando consideri un semipiano una delle variabili è 0?
Non capisco.
In [tex]$\{ x>0\}$[/tex] la [tex]$x$[/tex] non è nulla, quindi la funzione [tex]$\arctan \tfrac{y}{x}$[/tex] (che si ottiene integrando rispetto a [tex]$y$[/tex]) è ben definita e derivabile con continuità ovunque... Dov'è il problema?
Se volessi calcolare il potenziale tra due punti A(-3,9) e B(1/2,-3/4) quale f(x,y) devo usare per fare U(p)-U(q)?
Per una campo conservativo, prendi una qualsiasi primitiva e fai i conti; nota che la differenza di potenziale (d.d.p.) ti consente di calcolare[tex]\int_\gamma F\cdot \text{d} \sigma[/tex] per ogni curva [tex]$\gamma$[/tex] che congiunge i due punti.
Per un campo non conservativo non è possibile fare questo discorso: infatti, come saprai dalla teoria, la differenza di potenziale non è una quantità significativa, poiché non è più vero che la d.d.p. uguaglia tutti i possibili integrali [tex]\int_\gamma F\cdot \text{d} \sigma[/tex] in quanto tali integrali dipendono pesantemente dalla scelta del percorso [tex]$\gamma$[/tex].
Conseguentemente, se ti si chiede di calcolare la d.d.p. tra due punti per un campo non conservativo ti si deve pure dire quale potenziale usare o, al massimo, come costruire il potenziale giusto incollando i vari potenziali locali.
Per un campo non conservativo non è possibile fare questo discorso: infatti, come saprai dalla teoria, la differenza di potenziale non è una quantità significativa, poiché non è più vero che la d.d.p. uguaglia tutti i possibili integrali [tex]\int_\gamma F\cdot \text{d} \sigma[/tex] in quanto tali integrali dipendono pesantemente dalla scelta del percorso [tex]$\gamma$[/tex].
Conseguentemente, se ti si chiede di calcolare la d.d.p. tra due punti per un campo non conservativo ti si deve pure dire quale potenziale usare o, al massimo, come costruire il potenziale giusto incollando i vari potenziali locali.
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