Campi conservativi

[Arianna2405]

Salve, avrei bisogno di aiuto perchè non riesco a capire la soluzione di un esercizio così come l'ho trovata in una raccolta di temi d'esame.
L'argomento è questo: ho un campo vettoriale definito su un insieme non semplicemente connesso. Si chiede di verificare se il campo è conservativo. Essendo il campo irrotazionale io avrei cercato un potenziale. La soluzione proposta invece è questa: basta scegliere una curva chiusa, semplice, regolare a tratti, di traccia contenuta nel dominio, e verificare che la circuitazione lungo tale curva è nulla. Allora io non ho capito niente: ma non dovrei dimostrare che la circuitazione è nulla lungo qualunque curva chiusa? Quale teorema mi dice che se ne trovo una, sia pure con determinate caratteristiche, posso concludere che la condizione è verificata su tutte?
Vorrei inserire la funzione ma non so usare l'editor per le formule. Chiedo scusa!!!
Grazie mille per l'aiuto

[lordb]

Ciao,
in teoria dovresti verificare che per ogni curva chiusa la circuitazione è nulla.

Se non è un semplicemente connesso probabilmente ha un certo numero di buchi,se verifichi che la circuitazione del campo lungo tutte le curve che racchiudo ciascun buco è nulla allora se è irrotazionale è consevativo.

Comunque va benissimo anche calcolare un potenziale integrando su una qualsiasi traiettoria di classe $C^1$.

[Arianna2405]

Si, è quello che pensavo anch'io, ma volevo capire perchè la soluzione dell'esercizio, fatta dall'insegnante, proponeva un metodo diverso. Il buco in questione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2. La soluzione dice: siccome puoi prendere una curva qualunque (chiusa, ecc, ecc) , scegli la circonferenza di centro l'origine e raggio 3, verifica che lì la circuitazione è nulla e il gioco è fatto! Ma è corretto?! Grazie per la risposta

[lordb]

Ciao,
forse non ti è chiara questa cosa:

prop.1. Un campo vettoriale $vec F$ si dice conservativo se per ogni curva chiusa $gamma$ regolare, si ha che: $\oint_gamma $$=0$.

P.s. ci sono molte definizioni equivalenti.

prop.2. Un campo vettoriale $vec F$ irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo.

prop.3. Se un campo vettoriale $vec F$ è irrotazionale su un dominio non semplicemente connesso per via di una quantità al più numerabile di "buchi" allora è conservativo se e solo se... (vd. post precedente).

[Arianna2405]

Si, certo. Ma quello che io non capisco è come si possa dimostrare che il campo è conservativo trovando che la circuitazione è nulla lungo "una sola" curva chiusa che racchiude il buco. E' il fatto che la dimostrazione che ho trovato si basi su una sola curva quello che io non capisco. Anche considerando che il calcolo della circuitazione porta a zero qualunque sia il raggio della circonferenza (l'insegnante ha scelto R=3, poichè 3 > 2 che è il raggio del buco), ma è sufficiente per concludere che allora è nulla lungo una qualunque linea chiusa che racchiude il buco?
Sicuramente a me non è chiaro qualcosa, ma non capisco cosa.
Spero di essermi spiegata, e ti ringrazio.

[lordb]

Ciao, il fatto è che se ${gamma_r}$ è la famiglia di circonferenze centrate nel buco in questione, poichè:

$AA i,j, gamma_i,gamma_j in {gamma_r} text{sono omotope} => \oint_(gamma_1) omega_(vec F) = \oint_(gamma_2)omega_(vec F)$

[Arianna2405]

Ok, ma stai sempre parlando delle circonferenze. Se leggi il mio post precedente anche io ti avevo detto che su tutte le circonferenze la circuitazione era nulla. La mia domanda è: come posso essere certa che non esistano ALTRE curve chiuse lungo le quali la circuitazione non è nulla?
Sicuramente questo si può dire, ma io continuo a non capire il perchè.

PS: Come si inseriscono le formule? Se potessi scriverti la funzione forse riuscirei a spiegarmi meglio

[lordb]

Dunque la dimostrazione che sia sufficiente verificarlo per una sola circonferenza (e dunque per tutte le circonferenze appartenenti alla stessa famiglia) suppongo utilizzi la coomologia di De Rham, purtroppo non posso aiutarti.
Non credo che tu possa trovare quella dimostrazione in qualche testo di Analisi II (ma magari mi sbaglio)...

[Arianna2405]

Coomologia di De Rham?! Non l'ho mai sentita nominare ... Comunque grazie lo stesso per l'aiuto!