Cambio variabile con differenziali
Ciao a tutti,
Sto cercando di capire un passaggio mostrato nel paragrafo "Soluzione" della pagina sull'equazione delle onde di Wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione ... #Soluzione
Sintetizzo di seguito.
Ho le due equazioni: $(\frac{\partial}{\partial t} \pm \frac{\partial}{\partial x} ) \phi= 0$
Sostituisco le due variabili $t$ e $x$ con la coppia: $\xi = t - x$ e $\eta = t + x$
Ciò che non capisco è come si possa dunque scrivere che:
$\frac{\partial}{\partial \xi} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial x})$
$\frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x})$
Non capisco proprio il passaggio. Non so come manipolare queste equazioni coi differenziali. Ho provato per almeno un'ora e mezza a fare sostituzioni, elevare alla $-1$, etc. Non riesco a ottenere le ultime due equazioni che ho scritto.
Per favore, ho bisogno di capire come procedere. Mi sento di un'ignoranza disumana perché non riesco a far tornare i conti con un passaggio che nemmeno wikipedia mostra, tanto deve essere banale.
Sto cercando di capire un passaggio mostrato nel paragrafo "Soluzione" della pagina sull'equazione delle onde di Wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione ... #Soluzione
Sintetizzo di seguito.
Ho le due equazioni: $(\frac{\partial}{\partial t} \pm \frac{\partial}{\partial x} ) \phi= 0$
Sostituisco le due variabili $t$ e $x$ con la coppia: $\xi = t - x$ e $\eta = t + x$
Ciò che non capisco è come si possa dunque scrivere che:
$\frac{\partial}{\partial \xi} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial x})$
$\frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x})$
Non capisco proprio il passaggio. Non so come manipolare queste equazioni coi differenziali. Ho provato per almeno un'ora e mezza a fare sostituzioni, elevare alla $-1$, etc. Non riesco a ottenere le ultime due equazioni che ho scritto.
Per favore, ho bisogno di capire come procedere. Mi sento di un'ignoranza disumana perché non riesco a far tornare i conti con un passaggio che nemmeno wikipedia mostra, tanto deve essere banale.
Risposte
Dico di più:
capisco che le due ultime equazioni sono:
$\frac{\partial}{\partial \xi} = \frac{\partial t}{\partial \xi} \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial \xi} \frac{\partial}{\partial x}$
$\frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial t}{\partial \eta} \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial \eta} \frac{\partial}{\partial x}$
Ma mi sembra di aver appiccicato le cose per far tornare i conti. Ho bisogno di essere convinto...
capisco che le due ultime equazioni sono:
$\frac{\partial}{\partial \xi} = \frac{\partial t}{\partial \xi} \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial \xi} \frac{\partial}{\partial x}$
$\frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial t}{\partial \eta} \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial \eta} \frac{\partial}{\partial x}$
Ma mi sembra di aver appiccicato le cose per far tornare i conti. Ho bisogno di essere convinto...
Mettendo a sistema $s$ ed $eta$ Ti trovi le relazioni (sommando le due: $s+eta =t+t-x+x$ ti trovi $t=1/2 (s+ eta)$ e con la differenza ti trovi l altra relazione.
Sai che $s=s(t,x)$..derivi applicando la regola della dericvata composta $d/{di} dt/{d s} + d/{dx} dx/{d s}$ e sviluppi l espressione sulla base delle espressioni di x ed t in funzione di s e $eta$,....
Sai che $s=s(t,x)$..derivi applicando la regola della dericvata composta $d/{di} dt/{d s} + d/{dx} dx/{d s}$ e sviluppi l espressione sulla base delle espressioni di x ed t in funzione di s e $eta$,....
Chain rule? Niente di più?
"amivaleo":
Dico di più:
capisco che le due ultime equazioni sono:
$\frac{\partial}{\partial \xi} = \frac{\partial t}{\partial \xi} \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial \xi} \frac{\partial}{\partial x}$
$\frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial t}{\partial \eta} \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial \eta} \frac{\partial}{\partial x}$
Ma mi sembra di aver appiccicato le cose per far tornare i conti. Ho bisogno di essere convinto...
Procedimento corretto!!!
Quanto vorrei seguire un corso sul calcolo differenziale... Uno di quelli che ti fa piangere tanto è tosto, ma che alla fine ti apre la testa: sono convinto che è uno di quegli argomenti che, se padroneggiato a dovere, apre le porte su un nuovo mondo.
Mi sento tanto cog*ione. :s
Grazie mic.
Mi sento tanto cog*ione. :s
Grazie mic.
Non hai seguito un corso di analisi due (calcolo differenziale in due variabili) prima di seguire un corso dove si risolvono le equazioni delle onde??
Il mio corso di Analisi Matematica II comprendeva entrambi gli argomenti e tanto altro.
12 crediti che sarebbero dovuti essere 30 per quanto materiale c'era e per quanto meritasse di essere approfondito.
Non l'ho superato egregiamente per i miei standard. È stato uno dei punti più bassi della mia carriera universitaria. Troppe cose e io non riesco a imparare a memoria né a memorizzare e padroneggiare davvero un argomento se non mi spacco la testa su ogni singola riga fino a capire come spiegarla pure a mia nonna.
Permettimi un po' di dignità però: quel corso ha cambiato docente 3 volte in 3 anni. Era un ostacolo per chiunque, nonostante fossimo una "classe" piena di persone capaci e alcune particolarmente brillanti.
Ora mi ritrovo con qualche lacuna. Questi argomenti non mi servono per il dottorato, ma voglio comunque colmare la mia ignoranza.
Si tratta comunque di pezze da mettere qua e là: ho già affrontato l'equazione delle onde e altre equazioni differenziali. Sto riguardando con la lente vari argomenti, alla ricerca di passaggi che a loro tempo non avevo capito completamente.
12 crediti che sarebbero dovuti essere 30 per quanto materiale c'era e per quanto meritasse di essere approfondito.
Non l'ho superato egregiamente per i miei standard. È stato uno dei punti più bassi della mia carriera universitaria. Troppe cose e io non riesco a imparare a memoria né a memorizzare e padroneggiare davvero un argomento se non mi spacco la testa su ogni singola riga fino a capire come spiegarla pure a mia nonna.
Permettimi un po' di dignità però: quel corso ha cambiato docente 3 volte in 3 anni. Era un ostacolo per chiunque, nonostante fossimo una "classe" piena di persone capaci e alcune particolarmente brillanti.
Ora mi ritrovo con qualche lacuna. Questi argomenti non mi servono per il dottorato, ma voglio comunque colmare la mia ignoranza.
Si tratta comunque di pezze da mettere qua e là: ho già affrontato l'equazione delle onde e altre equazioni differenziali. Sto riguardando con la lente vari argomenti, alla ricerca di passaggi che a loro tempo non avevo capito completamente.
"Solo" la chain rule, dici? Non è banale, questo tipo di manipolazioni diventa subito piuttosto difficile e può essere controintuitivo. Qui ho messo due riferimenti proprio su questo argomento, su cui ho sbattuto molte volte la capoccia e sicuramente tornerò a sbatterla.
(Ti interessa soprattutto la pagina di Wikipedia linkata)
(Ti interessa soprattutto la pagina di Wikipedia linkata)
"dissonance":
"Solo" la chain rule, dici?
No, chiedo. Sembra troppo semplice infatti.
Metto tra i segnalibri per domani. Sto per andare a letto.
Grazie.
Voglio dire, la regola della catena non è cosa da poco. È normale che queste manipolazioni ti confondano, all'inizio.
Grazie dissonance.
Quella pagina di wikipedia mi è servita come esercizio.
Non è stato troppo complicato, ma ho avuto bisogno di riguardare un paragrafo della pagina sulla chain rule.
È divertente. Credo di aver capito bene. Ho bisogno solo di più confidenza con qualche esercizio in più.
Quella pagina di wikipedia mi è servita come esercizio.
Non è stato troppo complicato, ma ho avuto bisogno di riguardare un paragrafo della pagina sulla chain rule.
È divertente. Credo di aver capito bene. Ho bisogno solo di più confidenza con qualche esercizio in più.
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