Cambio di variabili per integrali
Sto studiando il seguente integrale
\(\displaystyle g(r)=\frac{1}{|\partial B_{r}(x)|}\int_{\partial B_{r}(x)}u(y)\, dH^{n-1}(y). \)
e voglio cambiare le variabili come segue
\(\displaystyle y=x+rz \) dove \(\displaystyle z\in\partial B_1(0) \) e \(\displaystyle dH^{n-1}(y)=rdH^{n-1}(z) \)
Allora abbiamo
\(\displaystyle g(r)=\frac{1}{r^{n-1}\omega_{n}}\int_{\partial B_{1}(0)}u(x+rz)r\, dH^{n-1}(z) \)
Ora quello che vi chiedo è: perchè quando porto \(\displaystyle r \) fuori dall'integrale, diventa \(\displaystyle r^{n-1} \)?
Credo di essermi inceppata su una stupidaggine, forse non ho capito bene il cambio di variabili in \(\displaystyle \mathbb R^n \)
\(\displaystyle g(r)=\frac{1}{|\partial B_{r}(x)|}\int_{\partial B_{r}(x)}u(y)\, dH^{n-1}(y). \)
e voglio cambiare le variabili come segue
\(\displaystyle y=x+rz \) dove \(\displaystyle z\in\partial B_1(0) \) e \(\displaystyle dH^{n-1}(y)=rdH^{n-1}(z) \)
Allora abbiamo
\(\displaystyle g(r)=\frac{1}{r^{n-1}\omega_{n}}\int_{\partial B_{1}(0)}u(x+rz)r\, dH^{n-1}(z) \)
Ora quello che vi chiedo è: perchè quando porto \(\displaystyle r \) fuori dall'integrale, diventa \(\displaystyle r^{n-1} \)?
Credo di essermi inceppata su una stupidaggine, forse non ho capito bene il cambio di variabili in \(\displaystyle \mathbb R^n \)
Risposte
Sto usando la misura di Hausdorff
Dove "porti fuori" la $r$? Se parli di quella $r^{n-1}$ a denominatore, non centra niente con il cambiamento di variabili: lì hai solo esplicitato quanto vale la misura di $\partial B_r$ che è uguale alla misura della superficie sferica unitaria (di raggio 1) $\omega_n$ moltiplicata per $r$ elevato alla "dimensione" meno 1 (per analogia, l'area della circonferenza presenta un $r^2$, mentre il perimetro della circonferenza un $r=r^{2-1}$ come fattore).
Ovviamente non parlo di quella, parlo di quella r NELL'ultimo integrale...
Allora scusa ma non ho capito: nell'integrale vedo solo $r$ e almeno a giudicare da quanto hai scritto non mi pare ci siano problemi.
Il problema è se lo voglio portare fuori integrale, perchè diventa r^n-1 ?
"pollon87":
\(\displaystyle g(r)=\frac{1}{r^{n-1}\omega_{n}}\int_{\partial B_{1}(0)}u(x+rz)r\, dH^{n-1}(z) \)
Continuo a non capire: l'ultimo integrale che hai scritto è questo: perché se porti fuori $r$ dovrebbe diventare $r^{n-1}$?
Appunto, su degli appunti ho trovato che cambia l'esponente....perciò ero sconcertata! Perchè poi la r si semplifica....
Comunque non mi pare il caso di citare la complicata "misura di Hausdorff n dimensionale", si tratta di un semplice integrale di superficie sulla sfera. E' un fatto geometrico piuttosto chiaro che riscalando la sfera $n-1$ dimensionale di un fattore $\lambda$, la misura superficiale riscala di un fattore $\lambda^{n-1}$; certo questa non è una dimostrazione formale. Per quella occorrerebbe scrivere l'integrale in un sistema di coordinate, in modo da trasformarlo in un integrale su un sottoinsieme di $\R^{n-1}$, e poi applicare la formula solita del cambiamento di variabili negli integrali multipli. Niente di complicato, solo un po' noioso.
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