Cambio di variabili per equazione differenziale

[Mondo3]

Qual è il cambio di variabili corretto per passare da un'equazione differenziale del tipo $y'=f(\frac{ax+by+c}{a'x+b'y+c'})$ all'equazione differenziale omogenea (di Manfredi) $y'=g(\frac{y}{x})$?

Ho provato a porre $Y=\frac{ax+by+c}{a'x+b'y+c'}x$, ma quando cerco di ricavare $y'$ in funzione di $Y'$ non ne cavo le gambe...

[dissonance]

2b. The equations of the form $y_x'=f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2})$ can be reduced to a homogeneous equation. To this end, for $a_1x+b_1y\nek(a_2x+b_2y)$, one should use the change of variables $xi=x-x_0, eta=y-y_0$, where the constants $x_0$ and $y_0$ are determined by solving the linear algebraic system
${(a_1x_0+b_1y_0+c_1=0),(a_2x_0+b_2y_0+c_2=0):}$
As a result, one arrives at the following equation for $eta=eta(xi)$:
$eta_xi'=f(\frac{a_1xi+b_1eta}{a_2xi+b_2eta})$
Dividing the argument of $f$ by $xi$, one obtains a homogeneous equation whose right-hand side
depends on the ratio $eta/xi$ only.
For $a_1x+b_1y=k(a_2x+b_2y)$ [...ci si riconduce al caso $y_x'=f(ax+by)$]

(tratto da Polianin-Zaitsev 2003, Handbook of solutions for ordinary differential equations)
[edit] a parole, possiamo dire che dobbiamo operare una traslazione sulla $x$ e una sulla $y$ allo scopo di fare sparire i termini noti del numeratore e del denominatore in $\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$.