Cambio di variabili nell'integrale multiplo
ciao a tutti aiutatemi voi, che di sicuro ne sapete più di me!...esiste un modo per determinare come poter cambiare le variabili in un integrale multiplo o tutto è frutto di fantasia matematica e c..fortuna?
Risposte
"letissier85":
ciao a tutti aiutatemi voi, che di sicuro ne sapete più di me!...esiste un modo per determinare come poter cambiare le variabili in un integrale multiplo o tutto è frutto di fantasia matematica e c..fortuna?
Se hai un integrale doppio i variabili $x$ e $y$, puoi fare le sostituzioni $x=rsintheta$ $y=rcostheta$ cioè passare alle coordinate polari ma devi anche fare la sostituzione $dxdy=rdrd theta$ e ovviamente cambiare gli estremi dell'integrale.
Cerco di dirti qualcosa di più sul caso generale appena riesco
"letissier85":
ciao a tutti aiutatemi voi, che di sicuro ne sapete più di me!...esiste un modo per determinare come poter cambiare le variabili in un integrale multiplo o tutto è frutto di fantasia matematica e c..fortuna?
A questo indirizzo dovrestri trovare ciò che ti serve
http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node68.html
In generale non esiste nessuna regola fissa. 
L'esperienza e la pratica sono i fattori più importanti per "fare l'occhio" su quale tipo di trasformazione di coordinate utilizzare.
Valgono comunque alcuni suggerimenti "empirici" che, in linea di massima, funzionano: prima di tutto bisogna avere ben chiara la forma del dominio d'integrazione (l'ideale è disegnarlo su carta). Di solito la forma suggerisce la trasformazione da utilizzare: es. dischi, corone e settori circolari suggeriscono fortemente le coordinate polari e normalmente questo è ok; di solito è preferibile semplificare la regione d'integrazione, anche se l'integrando si complica un pò.
Domini delimitati da superfici cilindriche o con simmetria assiale si possono trattare con le "cilindriche"; regioni delimitate da superfici sferiche con centro nell'origine, da coni circolari con asse l'asse z o problemi con simmetria sferica si possono trattare con le "sferiche". Nei casi in cui un problema presenti sia simmetria assiale che sferica è utile esaminare l'integrando: se questo contiene $x^2+y^2$ proviamo le cilindriche, se contiene $x^2+y^2+z^2$ proviamo le sferiche.
Si tratta di fare pratica.
Ciao e buono studio!
Giuseppe
L'esperienza e la pratica sono i fattori più importanti per "fare l'occhio" su quale tipo di trasformazione di coordinate utilizzare.
Valgono comunque alcuni suggerimenti "empirici" che, in linea di massima, funzionano: prima di tutto bisogna avere ben chiara la forma del dominio d'integrazione (l'ideale è disegnarlo su carta). Di solito la forma suggerisce la trasformazione da utilizzare: es. dischi, corone e settori circolari suggeriscono fortemente le coordinate polari e normalmente questo è ok; di solito è preferibile semplificare la regione d'integrazione, anche se l'integrando si complica un pò.
Domini delimitati da superfici cilindriche o con simmetria assiale si possono trattare con le "cilindriche"; regioni delimitate da superfici sferiche con centro nell'origine, da coni circolari con asse l'asse z o problemi con simmetria sferica si possono trattare con le "sferiche". Nei casi in cui un problema presenti sia simmetria assiale che sferica è utile esaminare l'integrando: se questo contiene $x^2+y^2$ proviamo le cilindriche, se contiene $x^2+y^2+z^2$ proviamo le sferiche.
Si tratta di fare pratica.
Ciao e buono studio!
Giuseppe
Tanto per la cronaca per cambiare variabili in un integrale doppio, anzi multplo in generale bisogna trovare il determinante del gradiente delle funzioni da sostituire: nel caso delle coordinate polari si vuole sostituire ${(x=\rho cos\theta),(y=\rho sin\theta):}$
Si ha quindi la matrice: $(({\partial x}/{\partial \rho},{\partial x}/{\partial \theta}),({\partial y}/{\partial \rho},{\partial y}/{\partial \theta}))=((cos\theta,-\rho\sin\theta),(sin\theta,\rhocos\theta))=\rho>0$
Da qua deriva la sostituziohne classica
Si ha quindi la matrice: $(({\partial x}/{\partial \rho},{\partial x}/{\partial \theta}),({\partial y}/{\partial \rho},{\partial y}/{\partial \theta}))=((cos\theta,-\rho\sin\theta),(sin\theta,\rhocos\theta))=\rho>0$
Da qua deriva la sostituziohne classica
La matrice indicata da cavallipurosangue è nota come matrice Jacobiana e il fattore che interviene nel calcolo di integrali multipli, nel caso di cambio di variabili è il modulo del determinante Jacobiano :$| det (J)| $.
Camillo
Camillo
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