Cambio di variabili in integrale doppio un po' ostico

[sba1]

un saluto a tutti.

ho difficoltà nel cambio di variabili di questo integrale:

D : (0<=x<=2 , x^2 <= y <= 4 )

SS(D) (sqrt(y-x^2)) (intendo integrale doppio su D)

qualche sugegrimento?

grazie

sb

[Lord K]

Bentrovato! ti invito a guardare il link: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html ... nel frattempo:

L'integrale immagino sia:

$\int \int_D sqrt(y-x^2)$

Se supponiamo:

${(x=rho*coshphi),(y=rho^2*sinh^2phi):}$

allora ho che:

$\int \int_D sqrt(y-x^2) = -\int_(-2)^2 \int_(-oo)^0 rho*||J||drho dphi$

Dove:

$||J|| = det ((coshphi, rhosinhphi),(2rhosinh^2phi, 2rho^2sinhphicoshphi)) =- 2*rho^2*sinhphi$

Ed allora risolvi:

$\int \int_D sqrt(y-x^2) = 2\int_(-2)^2 \int_(-oo)^0 rho^3*sinhphi drho dphi$

Il resto dei conti te lo consiglio ^_^

[sba1]

che tipo di cambiamento è? in realtà conosco solamente delle sostituzioni con coordinate polari o ellettiche ma non queste: dovrò approfondire l'argomento.

grazie per la risposta

[fabry1985mi]

Secondo me è addirittura più breve farlo senza cambio di variabili; infatti ponendo:

$D={(x,y)inRR^2:0<=x<=2,x^2<=y<=4}$

abbiamo che:

$int_Dsqrt(y-x^2)dxdy=int_0^2{int_(x^2)^4sqrt(y-x^2)dy}dx=2/3int_0^2[(y-x^2)^(3/2)]_(y=x^2)^(y=4)dx=2/3int_0^2[(4-x^2)^(3/2)]dx=$

ora facendo la sostituzione $x:=2sin(t) Leftrightarrow dx=2cos(t)dt$ abbiamo:

$=4/3int_0^(pi/2)[(4-4sin^2(t))^(3/2)]cos(t)dt=32/3int_0^(pi/2)cos^4(t)dt=32/3*(3!!)/(4!!)*(pi)/2=32/3*3/16*pi=2pi$

[sba1]

il cos alla quarta non è però cos' immediato..
cosa rappresentano i punti esclamativi nella formula?
grazie

[Lord K]

La sostituzione da me usata sottointende la conoscenza del seno iperbolico e del coseno iperbolico che sono definiti come:

$sinhphi = (e^phi-e^(-phi))/2$
$coshphi = (e^phi+e^(-phi))/2$

con analoga identità dei parenti trigonometrici:

$cosh^2phi - sinh^2phi=1$