Cambio di variabili
Ciao ragazzi,
Ho un problema riguardo un cambio di variabili in una equazione differenziale alle derivate parziali. In particolare, si tratta di un problema 1D tempo-dipendente. Il testo propone il seguente cambio di variabili
$ \overline{t} = t+\beta x $
e di conseguenza
$ \frac{\partial}{\partial t} \to \frac{\partial}{\partial \overline{t}} $
$ \frac{\partial}{\partial x} \to \frac{\partial}{\partial x} + \beta \frac{\partial}{\partial \overline{t}} $ .
La mia domanda é la seguente: quali sono i passaggi formali per ricavare queste due relazioni?
Grazie mille.
Ho un problema riguardo un cambio di variabili in una equazione differenziale alle derivate parziali. In particolare, si tratta di un problema 1D tempo-dipendente. Il testo propone il seguente cambio di variabili
$ \overline{t} = t+\beta x $
e di conseguenza
$ \frac{\partial}{\partial t} \to \frac{\partial}{\partial \overline{t}} $
$ \frac{\partial}{\partial x} \to \frac{\partial}{\partial x} + \beta \frac{\partial}{\partial \overline{t}} $ .
La mia domanda é la seguente: quali sono i passaggi formali per ricavare queste due relazioni?
Grazie mille.
Risposte
Prendi una $u(x,t)$, trasformala in una $u(x, bar(t))$, deriva e confronta i risultati.
Consideriamo una funzione $u(x,t)$, la quale viene trasformata in $u(x,\overline{t}(x,t))$ dove $\overline{t}(x,t)=t+\beta x$. Allora si ha
$\frac{\partial u}{\partial t} \to \frac{\partial u}{\partial \overline{t}} \frac{\partial \overline{t}}{\partial t} =frac{\partial u}{\partial \overline{t}}$
$ \frac{\partial u}{\partial x} \to \frac{\partial u}{\partial x} + frac{\partial u}{\partial \overline{t}} \frac{\partial \overline{t}}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + \beta frac{\partial u}{\partial \overline{t}} $
ossia
$\frac{\partial }{\partial t} \to frac{\partial }{\partial \overline{t}}$
$\frac{\partial }{\partial x} \to \frac{\partial}{\partial x} + \beta frac{\partial}{\partial \overline{t}}.$
Tutto torna. Grazie mille Gugo!
Ció che io facevo era scrivere $u(x,t)=u(x,\overline{t}-\beta x)$, e poi mi bloccavo.
Qual é la differenza nel dire "prendo $u(x,t)$ e la trasformo in $u(x,\overline{t})$ con $\overline{t} = t + \beta x$" oppure scrivere "$u(x,t)=u(x,\overline{t}-\beta x)$"?
$\frac{\partial u}{\partial t} \to \frac{\partial u}{\partial \overline{t}} \frac{\partial \overline{t}}{\partial t} =frac{\partial u}{\partial \overline{t}}$
$ \frac{\partial u}{\partial x} \to \frac{\partial u}{\partial x} + frac{\partial u}{\partial \overline{t}} \frac{\partial \overline{t}}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + \beta frac{\partial u}{\partial \overline{t}} $
ossia
$\frac{\partial }{\partial t} \to frac{\partial }{\partial \overline{t}}$
$\frac{\partial }{\partial x} \to \frac{\partial}{\partial x} + \beta frac{\partial}{\partial \overline{t}}.$
Tutto torna. Grazie mille Gugo!
Ció che io facevo era scrivere $u(x,t)=u(x,\overline{t}-\beta x)$, e poi mi bloccavo.
Qual é la differenza nel dire "prendo $u(x,t)$ e la trasformo in $u(x,\overline{t})$ con $\overline{t} = t + \beta x$" oppure scrivere "$u(x,t)=u(x,\overline{t}-\beta x)$"?
Prego. 
Semplicemente, ottieni il cambiamento di operatori inverso.
Qual é la differenza [...]?
Semplicemente, ottieni il cambiamento di operatori inverso.
Giusto. É che mi sforzavo nell'avere un'uguaglianza tra $u(x,t)$ e $u(x,\overline{t})$, ma non ce né bisogno.
Un'ultima cosa. Consideriamo una $u(x)$ e questa volta viene proposta la trasformazione
$x \to x+ \frac{i}{\omega} \int_{x_0}^x \sigma dx$
la quale implica (da testo)
$\frac{\partial}{partial x} \to \frac{1}{1+i\frac{\sigma}{\omega}} \frac{\partial}{partial x}$
dove $\sigma=sigma(x)$.
Ció che io ho fatto é porre $\overline{x} = x+ \frac{i}{\omega} \int_{x_0}^x \sigma dx$ e considerare la funzione $u(x)$ trasformata in $u(\overline{x}(x))$, dalla quale ricavo
$\frac{\partial}{partial x} \to (1+i\frac{\sigma}{\omega}) \frac{\partial}{partial \overline{x}}$.
Che é sbagliata. Come mai?
Per ricavare la trasformazione corretta, ho provato ad applicare il differenziale, cosicché
$ \partial(x) \to \partial (x+ \frac{i}{\omega} \int_{x_0}^x \sigma dx) $
$\partial x \to (1+i\frac{\sigma}{\omega}) \partial x $
$\frac{\partial}{partial x} \to \frac{1}{1+i\frac{\sigma}{\omega}} \frac{\partial}{partial x}$
ma non ho idea se ció che ho scritto é matematicamente corretto e non ho ben chiaro cosa sto facendo.
Un'ultima cosa. Consideriamo una $u(x)$ e questa volta viene proposta la trasformazione
$x \to x+ \frac{i}{\omega} \int_{x_0}^x \sigma dx$
la quale implica (da testo)
$\frac{\partial}{partial x} \to \frac{1}{1+i\frac{\sigma}{\omega}} \frac{\partial}{partial x}$
dove $\sigma=sigma(x)$.
Ció che io ho fatto é porre $\overline{x} = x+ \frac{i}{\omega} \int_{x_0}^x \sigma dx$ e considerare la funzione $u(x)$ trasformata in $u(\overline{x}(x))$, dalla quale ricavo
$\frac{\partial}{partial x} \to (1+i\frac{\sigma}{\omega}) \frac{\partial}{partial \overline{x}}$.
Che é sbagliata. Come mai?
Per ricavare la trasformazione corretta, ho provato ad applicare il differenziale, cosicché
$ \partial(x) \to \partial (x+ \frac{i}{\omega} \int_{x_0}^x \sigma dx) $
$\partial x \to (1+i\frac{\sigma}{\omega}) \partial x $
$\frac{\partial}{partial x} \to \frac{1}{1+i\frac{\sigma}{\omega}} \frac{\partial}{partial x}$
ma non ho idea se ció che ho scritto é matematicamente corretto e non ho ben chiaro cosa sto facendo.
Non è sbagliata... È l'inversa.
Il problema dei cambiamenti di variabile è dare bene i nomi alle variabili.
Se hai $u(x)$, allora devi sostituire $x=x(bar(x))$.
Il problema dei cambiamenti di variabile è dare bene i nomi alle variabili.
Se hai $u(x)$, allora devi sostituire $x=x(bar(x))$.
Ok, se scrivo $u(x)$ con $x=x(\overline{x})$ le cose tornano.
Peró, nel primo caso ho la trasformazione $\overline{t}(x,t)=t+\beta x$ che manda $u(x,t)$ in $u(x,\overline{t}(x,t))$.
Nel secondo caso ho la trasformazione $x(\overline{x}) = \overline{x} + i\frac{sigma}{\omega} \int_{x_0}^{\overline{x}} \sigma d\overline{x}$ che manda $u(x)$ in $u(x(\overline{x}))$.
Il primo e secondo caso sono matematicamente diverse, ma non riesco a cogliere questa differenza.
Ti ringrazio per la pazienza Gugo!
Peró, nel primo caso ho la trasformazione $\overline{t}(x,t)=t+\beta x$ che manda $u(x,t)$ in $u(x,\overline{t}(x,t))$.
Nel secondo caso ho la trasformazione $x(\overline{x}) = \overline{x} + i\frac{sigma}{\omega} \int_{x_0}^{\overline{x}} \sigma d\overline{x}$ che manda $u(x)$ in $u(x(\overline{x}))$.
Il primo e secondo caso sono matematicamente diverse, ma non riesco a cogliere questa differenza.
Ti ringrazio per la pazienza Gugo!
Ok, se scrivo $u(x)$ con $x=x(\overline{x})$ le cose tornano.
Peró, nel primo caso ho la trasformazione $\overline{t}(x,t)=t+\beta x$ che manda $u(x,t)$ in $u(x,\overline{t}(x,t))$.
Nel secondo caso ho la trasformazione $x(\overline{x}) = \overline{x} + i\frac{sigma}{\omega} \int_{x_0}^{\overline{x}} \sigma d\overline{x}$ che manda $u(x)$ in $u(x(\overline{x}))$.
Il primo e secondo caso sono matematicamente diverse, ma non riesco a cogliere questa differenza.
Ti ringrazio per la pazienza Gugo!
Peró, nel primo caso ho la trasformazione $\overline{t}(x,t)=t+\beta x$ che manda $u(x,t)$ in $u(x,\overline{t}(x,t))$.
Nel secondo caso ho la trasformazione $x(\overline{x}) = \overline{x} + i\frac{sigma}{\omega} \int_{x_0}^{\overline{x}} \sigma d\overline{x}$ che manda $u(x)$ in $u(x(\overline{x}))$.
Il primo e secondo caso sono matematicamente diverse, ma non riesco a cogliere questa differenza.
Ti ringrazio per la pazienza Gugo!
Permettimi di cambiare la notazione per fare prima.
Tu hai un cambiamento di variabile $\{(X = X(x,t)), (T = T(x,t)):}$ "buono", cioè invertibile e differenziabile con la sua inversa $\{(x = x(X,T)), (t = t(X,T)):}$ (nel tuo caso $\{(X = x), (T = beta x + t):}$ e $\{(x = X),(t = -beta X + T):}$) e vuoi sapere come variano i rispettivi operatori di derivazione, cioè vuoi sapere $(partial )/(partial x)$ e $(partial)/(partial t)$ come si scrivono rispetto a $(partial)/(partial X)$ e $(partial)/(partial T)$.
Per fissare le idee ed arrivare a considerazioni generali in maniera non traumatica, consideriamo una funzione $u = U(X,T)$ "regolare", cambiamo le variabili da cui essa dipende riscrivendola come $u = u(x,t) := U(X(x,t), T(x,t))$ e deriviamo rispetto alle nuove variabili:
$\{(u_x = U_X * X_x + U_T * T_x), (u_t = U_X * X_t + U_T * T_t):}$
ossia, a livello operatoriale:
$\{((partial )/(partial x) = (partial X)/(partial x) * (partial )/(partial X) + (partial T)/(partial x) * (partial )/(partial T)), ((partial )/(partial t) = (partial X)/(partial t) * (partial )/(partial X) + (partial T)/(partial t) * (partial )/(partial T)):}$
che mostra una "solita" manipolazione dei differenziali (con l'unica differenza che sta nel ricordarsi di "moltiplicare e dividere" per i $partial$ di tutte le variabili maiuscole).
Ancora più sinteticamente si può scrivere tutto in termini di vettori di operatori:
$((partial )/(partial x), (partial )/(partial t)) = ((partial )/(partial X), (partial )/(partial T)) * (((partial X)/(partial x), (partial X)/(partial t)), ((partial T)/(partial x), (partial T)/(partial t)))$
ossia:
(A) $nabla_(x,t) = nabla_(X,T) * (partial(X,T))/(partial(x,t))$
in cui $(partial(X,T))/(partial(x,t)) = mathcal(J)$ denota la matrice jacobiana di $X,T$ rispetto ad $x,t$.
Se fai i conti all'inverso trovi ovviamente:
$nabla_(X,T) = nabla_(x,t) * (partial(x,t))/(partial(X,T))$
con $(partial(x,t))/(partial(X,T)) = ((partial(X,T))/(partial(x,t)))^(-1)$ matrice jacobiana di $x,t$ rispetto ad $X,T$.
Nel caso che esaminavamo all'inizio avevamo:
$mathcal(J) = ((1,0),(beta,1))$,
dunque:
$nabla_(x,t) = nabla_(X,T) * ((1,0),(beta,1)) <=> \{((partial )/(partial x) = (partial)/(partial X) + beta (partial)/(partial T)), ((partial)/(partial t) = (partial)/(partial T)):}$
come già trovato.
Uno dei difetti di (A) è che gli operatori sono moltiplicati a destra dei coefficienti (contenuti nella jacobiana); a ciò si può ovviare se si pensa al vettore di operatori $nabla$ indifferentemente come riga o come colonna (mentre nella formula (A) i $nabla$ sono righe), poiché in tal caso si può scrivere:
$nabla_(x,t) = mathcal(J)^\top * nabla_(X,T)$
in cui $mathcal(J)^\top$ è la trasposta di $mathcal(J)$.
***
Esercizio :
Come si esprimono $(partial)/(partial x)$ e $(partial)/(partial y)$ rispetto alle coordinate polari standard $r, theta$?
E come si esprimono gli operatori di derivazione del secondo ordine $(partial^2)/(partial x^2), (partial^2)/(partial x partial y), (partial^2)/(partial y^2)$?
Tu hai un cambiamento di variabile $\{(X = X(x,t)), (T = T(x,t)):}$ "buono", cioè invertibile e differenziabile con la sua inversa $\{(x = x(X,T)), (t = t(X,T)):}$ (nel tuo caso $\{(X = x), (T = beta x + t):}$ e $\{(x = X),(t = -beta X + T):}$) e vuoi sapere come variano i rispettivi operatori di derivazione, cioè vuoi sapere $(partial )/(partial x)$ e $(partial)/(partial t)$ come si scrivono rispetto a $(partial)/(partial X)$ e $(partial)/(partial T)$.
Per fissare le idee ed arrivare a considerazioni generali in maniera non traumatica, consideriamo una funzione $u = U(X,T)$ "regolare", cambiamo le variabili da cui essa dipende riscrivendola come $u = u(x,t) := U(X(x,t), T(x,t))$ e deriviamo rispetto alle nuove variabili:
$\{(u_x = U_X * X_x + U_T * T_x), (u_t = U_X * X_t + U_T * T_t):}$
ossia, a livello operatoriale:
$\{((partial )/(partial x) = (partial X)/(partial x) * (partial )/(partial X) + (partial T)/(partial x) * (partial )/(partial T)), ((partial )/(partial t) = (partial X)/(partial t) * (partial )/(partial X) + (partial T)/(partial t) * (partial )/(partial T)):}$
che mostra una "solita" manipolazione dei differenziali (con l'unica differenza che sta nel ricordarsi di "moltiplicare e dividere" per i $partial$ di tutte le variabili maiuscole).
Ancora più sinteticamente si può scrivere tutto in termini di vettori di operatori:
$((partial )/(partial x), (partial )/(partial t)) = ((partial )/(partial X), (partial )/(partial T)) * (((partial X)/(partial x), (partial X)/(partial t)), ((partial T)/(partial x), (partial T)/(partial t)))$
ossia:
(A) $nabla_(x,t) = nabla_(X,T) * (partial(X,T))/(partial(x,t))$
in cui $(partial(X,T))/(partial(x,t)) = mathcal(J)$ denota la matrice jacobiana di $X,T$ rispetto ad $x,t$.
Se fai i conti all'inverso trovi ovviamente:
$nabla_(X,T) = nabla_(x,t) * (partial(x,t))/(partial(X,T))$
con $(partial(x,t))/(partial(X,T)) = ((partial(X,T))/(partial(x,t)))^(-1)$ matrice jacobiana di $x,t$ rispetto ad $X,T$.
Nel caso che esaminavamo all'inizio avevamo:
$mathcal(J) = ((1,0),(beta,1))$,
dunque:
$nabla_(x,t) = nabla_(X,T) * ((1,0),(beta,1)) <=> \{((partial )/(partial x) = (partial)/(partial X) + beta (partial)/(partial T)), ((partial)/(partial t) = (partial)/(partial T)):}$
come già trovato.
Uno dei difetti di (A) è che gli operatori sono moltiplicati a destra dei coefficienti (contenuti nella jacobiana); a ciò si può ovviare se si pensa al vettore di operatori $nabla$ indifferentemente come riga o come colonna (mentre nella formula (A) i $nabla$ sono righe), poiché in tal caso si può scrivere:
$nabla_(x,t) = mathcal(J)^\top * nabla_(X,T)$
in cui $mathcal(J)^\top$ è la trasposta di $mathcal(J)$.
***
Esercizio :
Come si esprimono $(partial)/(partial x)$ e $(partial)/(partial y)$ rispetto alle coordinate polari standard $r, theta$?
E come si esprimono gli operatori di derivazione del secondo ordine $(partial^2)/(partial x^2), (partial^2)/(partial x partial y), (partial^2)/(partial y^2)$?
Analogo discorso nel caso di funzioni di una variabile.
Hai un cambiamento di coordinate "buono" $X=X(x)$ e vuoi sapere come cambia l'operatore differenziale, i.e. come si esprime $("d")/("d"x)$ in funzione di $("d")/("d"X)$ o viceversa.
Prendiamo una $u= U(X)$, riscriviamola come $u= u(x) := U(X(x))$ e deriviamo:
$u_x = U_X * X_x$
ossia:
$("d")/("d"x) = ("d"X)/("d"x) * ("d")/("d" X)$.
Chiaramente, se procedi all'inverso trovi:
$("d")/("d"X) = ("d"x)/("d"X) * ("d")/("d" x)$
in cui $("d"x)/("d"X) = 1/(("d"X)/("d"x))$ per derivazione della funzione inversa.
***
Esercizio:
Come si esprimono $("d"^2)/("d"x^2)$ e $("d"^2)/("d"X^2)$?
Hai un cambiamento di coordinate "buono" $X=X(x)$ e vuoi sapere come cambia l'operatore differenziale, i.e. come si esprime $("d")/("d"x)$ in funzione di $("d")/("d"X)$ o viceversa.
Prendiamo una $u= U(X)$, riscriviamola come $u= u(x) := U(X(x))$ e deriviamo:
$u_x = U_X * X_x$
ossia:
$("d")/("d"x) = ("d"X)/("d"x) * ("d")/("d" X)$.
Chiaramente, se procedi all'inverso trovi:
$("d")/("d"X) = ("d"x)/("d"X) * ("d")/("d" x)$
in cui $("d"x)/("d"X) = 1/(("d"X)/("d"x))$ per derivazione della funzione inversa.
***
Esercizio:
Come si esprimono $("d"^2)/("d"x^2)$ e $("d"^2)/("d"X^2)$?
Grazie davvero Gugo, ci hai sicuramente speso del tempo in queste risposte. Apprezzo molto!
Ció che tu scrivi ha perfettamente senso e concordo pienamente in tutti i passaggi che hai scritto. Risponderó ai tuoi esercizi il prima possibile.
La mia confusione deriva dalla terminologia del testo. Nel caso 1 ($u(x,t)$ per intenderci) é tutto molto chiaro. Nel secondo caso, seguendo il medesimo procedimento usato nel caso 1, ancora non mi trovo.
Tutto ció che il testo riporta é la seguente trasformazione (ho tolto l'integrale per semplificare, con $a \in \mathbb{R}$):
$x \to x(1+a) \qquad \text{da cui} \qquad\frac{d}{d x} \to \frac{1}{1+a} \frac{d}{d x}$
Ora, io definisco $u=u(x):=U(X(x))$ dove $X(x) = x(1+a)$, allora:
$u_x = U_X X_x$
ossia
$\frac{d}{d x} = (1+a) \frac{d}{d X}$
Ora, capisco che il testo riporta esattamente la trasformazione inversa (con una notazione discutibile). Ma se nel caso 1 eseguo gli stessi passaggi ottenendo il risultato corretto, perché nel caso due mi trovo con un risultato diverso (corrispondente all'inversa della trasformazione)?
Grazie ancora.
Ció che tu scrivi ha perfettamente senso e concordo pienamente in tutti i passaggi che hai scritto. Risponderó ai tuoi esercizi il prima possibile.
La mia confusione deriva dalla terminologia del testo. Nel caso 1 ($u(x,t)$ per intenderci) é tutto molto chiaro. Nel secondo caso, seguendo il medesimo procedimento usato nel caso 1, ancora non mi trovo.
Tutto ció che il testo riporta é la seguente trasformazione (ho tolto l'integrale per semplificare, con $a \in \mathbb{R}$):
$x \to x(1+a) \qquad \text{da cui} \qquad\frac{d}{d x} \to \frac{1}{1+a} \frac{d}{d x}$
Ora, io definisco $u=u(x):=U(X(x))$ dove $X(x) = x(1+a)$, allora:
$u_x = U_X X_x$
ossia
$\frac{d}{d x} = (1+a) \frac{d}{d X}$
Ora, capisco che il testo riporta esattamente la trasformazione inversa (con una notazione discutibile). Ma se nel caso 1 eseguo gli stessi passaggi ottenendo il risultato corretto, perché nel caso due mi trovo con un risultato diverso (corrispondente all'inversa della trasformazione)?
Grazie ancora.
Che testo è?
Odio i fisici (ed anche i matematici, gli informatici, etc...) quando si mettono ad usare nomi variabile ad mentula canis.
Ad ogni buon conto, mi sembra che tu abbia:
\[
\bar{x} = \operatorname{schifezzacontantodintegrale}(x)\; ,
\]
sicché $("d")/("d"bar(x)) = 1/(("d" "schifezzacontantodintegrale")/("d"x)) * ("d")/("d" x)$, con:
\[
\frac{\text{d} \operatorname{schifezzacontantodintegrale}}{\text{d} x} = \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ x+ \frac{i}{\omega} \int_{x_0}^x \sigma \text{d} x \right] = 1 + \frac{i}{\omega}\ \sigma (x)\; .
\]
P.S.: E sto scrivendo da cellulare... Quindi ringraziamenti doppi.
Odio i fisici (ed anche i matematici, gli informatici, etc...) quando si mettono ad usare nomi variabile ad mentula canis.
Ad ogni buon conto, mi sembra che tu abbia:
\[
\bar{x} = \operatorname{schifezzacontantodintegrale}(x)\; ,
\]
sicché $("d")/("d"bar(x)) = 1/(("d" "schifezzacontantodintegrale")/("d"x)) * ("d")/("d" x)$, con:
\[
\frac{\text{d} \operatorname{schifezzacontantodintegrale}}{\text{d} x} = \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ x+ \frac{i}{\omega} \int_{x_0}^x \sigma \text{d} x \right] = 1 + \frac{i}{\omega}\ \sigma (x)\; .
\]
P.S.: E sto scrivendo da cellulare... Quindi ringraziamenti doppi.
Da telefono? Wow, non mi ci sono mai avvicinato a latex da telefono. Ma sicuramente piú costruttivo di un passaggio su facebook, instagram, etc...
Allora Gugo, mi é tutto chiaro a meno di questo. Provo a rispiegarmi.
Caso 1. Ho $u(x,t):=U(X(x,t),T(x,t))$ dove $X(x,t)=x$ e $T(x,t)=t+\beta x$ é una trasformazione di variabili. Voglio vedere come gli operatori $\frac{\partial}{\partial x}$ e $\frac{\partial}{\partial t}$ si trasformano e ricavo
$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial T}$
$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial X} + \beta \frac{\partial}{\partial T}$
Ok. Tutto chiaro.
Caso 2. ho $u(x):=U(X(x))$ dove $X(x)=x(1+a)$ é una trasformazione di variabili. Voglio vedere come l'operatore $\frac{d}{dx}$ si trasforma, e usando il medesimo procedimento ricavo
$\frac{d}{dx} = (1+a) \frac{d}{dX}$
Che é sbagliato. Infatti, ottengo l'inversa della trasformazione riportata sul testo. Perché?
Ringraziamento doppio!
Allora Gugo, mi é tutto chiaro a meno di questo. Provo a rispiegarmi.
Caso 1. Ho $u(x,t):=U(X(x,t),T(x,t))$ dove $X(x,t)=x$ e $T(x,t)=t+\beta x$ é una trasformazione di variabili. Voglio vedere come gli operatori $\frac{\partial}{\partial x}$ e $\frac{\partial}{\partial t}$ si trasformano e ricavo
$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial T}$
$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial X} + \beta \frac{\partial}{\partial T}$
Ok. Tutto chiaro.
Caso 2. ho $u(x):=U(X(x))$ dove $X(x)=x(1+a)$ é una trasformazione di variabili. Voglio vedere come l'operatore $\frac{d}{dx}$ si trasforma, e usando il medesimo procedimento ricavo
$\frac{d}{dx} = (1+a) \frac{d}{dX}$
Che é sbagliato. Infatti, ottengo l'inversa della trasformazione riportata sul testo. Perché?
Ringraziamento doppio!
Perché non è quella a cui il testo è interessato, come ho detto su.
Gli serve l'inversa e ti trovi.
Gli serve l'inversa e ti trovi.
Se cambio variable da $x$ a $X(x)$ allora devo trovare una relazione 'che manda' $\frac{d}{dx}$ in $\frac{d}{dX}$ (ció che farei io).
Se poi voglio ritornare da $X$ a $x(X)$ allora devo fare la cosa inversa, ed esprimere $\frac{d}{dX}$ 'in funzione di' $\frac{d}{dx}$ (ció che fa il testo e ció che tu mi stai cercando di spiegare ma che continuo a non capire
).
Se poi voglio ritornare da $X$ a $x(X)$ allora devo fare la cosa inversa, ed esprimere $\frac{d}{dX}$ 'in funzione di' $\frac{d}{dx}$ (ció che fa il testo e ció che tu mi stai cercando di spiegare ma che continuo a non capire
).
Non c'è nulla più da capire, guarda.
Fatti i passaggi.
Fatti i passaggi.
Esercizio proposto sulle coordinate polari. Molto istruttivo.
Consideriamo una funzione $u(x,y):=U(X(r,\theta),Y(r,\theta))$ con
$x = X(r,\theta) = r \cos\theta$
$y = Y(r,\theta) = r \sin\theta$
Allora
$u_r = U_x x_r + U_y y_r$
$u_\theta = U_x x_\theta + U_y y_\theta$
ossia
$(\frac{\partial}{\partial \r}, \frac{\partial}{\partial \theta}) = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) \cdot ( ( cos\theta , -r \sin \theta ),( sin \theta , r \cos \theta ) ) $.
Invertendo
$(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) = (\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \theta}) \cdot ( ( cos\theta , \sin \theta ),( - \frac{1}{r}sin \theta , \frac{1}{r} \cos \theta ) ) $
ossia
$\frac{\partial}{\partial x} = \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}$
$\frac{\partial}{\partial y} = \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r} \cos \theta \frac{\partial}{\partial \theta}$
Consideriamo una funzione $u(x,y):=U(X(r,\theta),Y(r,\theta))$ con
$x = X(r,\theta) = r \cos\theta$
$y = Y(r,\theta) = r \sin\theta$
Allora
$u_r = U_x x_r + U_y y_r$
$u_\theta = U_x x_\theta + U_y y_\theta$
ossia
$(\frac{\partial}{\partial \r}, \frac{\partial}{\partial \theta}) = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) \cdot ( ( cos\theta , -r \sin \theta ),( sin \theta , r \cos \theta ) ) $.
Invertendo
$(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) = (\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \theta}) \cdot ( ( cos\theta , \sin \theta ),( - \frac{1}{r}sin \theta , \frac{1}{r} \cos \theta ) ) $
ossia
$\frac{\partial}{\partial x} = \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}$
$\frac{\partial}{\partial y} = \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r} \cos \theta \frac{\partial}{\partial \theta}$
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