Cambio di variabile in integrali impropri
Nell'ambito di un integrale improprio, come bisogna regolarsi riguardo agli estremi di integrazione in un cambio di variabile? Ad esempio, se ho:
$int_0^(1/2) dx/(x^\alphalog(1/x))$ facendo il cambiamento di variabile $1/x=t => dx = -dt/t^2$ ottengo $- int_2^oo (t^(\alpha-2)/logt)dt$? In questo caso ad esempio avrei avuto mediante il semplice cambiamento l'estremo superiore di integrazione (2) minore di quello inferiore ($+oo$); devo semplicemente riaggiustare l'ordine per mettere quello inferiore sotto o c'é da prendere in considerazione qualche ulteriore accorgimento? Grazie
$int_0^(1/2) dx/(x^\alphalog(1/x))$ facendo il cambiamento di variabile $1/x=t => dx = -dt/t^2$ ottengo $- int_2^oo (t^(\alpha-2)/logt)dt$? In questo caso ad esempio avrei avuto mediante il semplice cambiamento l'estremo superiore di integrazione (2) minore di quello inferiore ($+oo$); devo semplicemente riaggiustare l'ordine per mettere quello inferiore sotto o c'é da prendere in considerazione qualche ulteriore accorgimento? Grazie
Risposte
Quando cambi le variabili, gli estremi restano al loro posto: in questo caso [tex]$x=0^+\to t=+\infty,\ x=1/2\to t=2$[/tex]. L'integrale assume allora la forma
[tex]$\int_{+\infty}^{2}\frac{t^{\alpha-2}}{\log t}\ (-dt)=\int_2^{+\infty}\frac{t^{\alpha-2}}{\log t}\ dt$[/tex]
ricordando che [tex]$-\int_b^a f(x)\ dx=\int_a^b f(x)\ dx$[/tex]
[tex]$\int_{+\infty}^{2}\frac{t^{\alpha-2}}{\log t}\ (-dt)=\int_2^{+\infty}\frac{t^{\alpha-2}}{\log t}\ dt$[/tex]
ricordando che [tex]$-\int_b^a f(x)\ dx=\int_a^b f(x)\ dx$[/tex]
Immaginavo qualcosa del genere infatti =) grazie per la risposta.
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