Cambio di variabile
Buongiorno,
ho trovato tale cambiamento di variabile:
$int_0^te^(A*(t-tau))*B*u(tau)d tau = int_0^te^(A*t)*B*u(t-tau)d tau$
da cui mi sembra di capire che è stato posto: $t - tau = p$ e alla fine $p$ è stata rinominata con $tau$
Ma non mi torna una cosa.. facendo i differenziali non verrebbe: $dp = -d tau$? Non ci dovrebbe essere quindi un meno davanti al secondo integrale?
Informazioni di contorno: A è una matrice quadrata nxn, B un vettore nx1 e u(t) una costante (forse è questo che ci aiuta?).
Grazie!
ho trovato tale cambiamento di variabile:
$int_0^te^(A*(t-tau))*B*u(tau)d tau = int_0^te^(A*t)*B*u(t-tau)d tau$
da cui mi sembra di capire che è stato posto: $t - tau = p$ e alla fine $p$ è stata rinominata con $tau$
Ma non mi torna una cosa.. facendo i differenziali non verrebbe: $dp = -d tau$? Non ci dovrebbe essere quindi un meno davanti al secondo integrale?
Informazioni di contorno: A è una matrice quadrata nxn, B un vettore nx1 e u(t) una costante (forse è questo che ci aiuta?).
Grazie!
Risposte
sei sicuro non ci siano altre ipotesi su B?
mi spiego: se ad esempio B è un autovettore con 1 per $e^(Atau)$ la cosa torna banalmente, basta fare un conticino
"Megan00b":
sei sicuro non ci siano altre ipotesi su B?
Ehm.. no, per esempio: $A = [[-2,-1],[1,0]]$ e $B = [[1],[1]]$
Riporto l'intero esempio copiando dal testo (nel caso u(t) = 1):
$y(t) = Cint_0^te^(A*(t-tau))Bu(tau)d tau = Cint_0^te^(A*(t))Bu(t-tau)d tau =$
$ = int_0^t[[1,1]][[e^(-t)-te^(-t), -te^(-t)],[te^(-t), e^(-t)+te^(-t)]][[1],[1]]d tau = 2(1-e^(-t))$
No...aspetta: c'è qualcosa che non torna:
dove finisce la costante C e perchè un prodotto matrice per vettore a destra diventa un prodotto vettore matrice vettore?
Il fatto che $u(tau)$ diventi $u(t-tau)$ è banale visto che u è cte. però c'è qualcosa che non va nello svolgimento. Cmq non credo sia un cambio di variabile.
dove finisce la costante C e perchè un prodotto matrice per vettore a destra diventa un prodotto vettore matrice vettore?
Il fatto che $u(tau)$ diventi $u(t-tau)$ è banale visto che u è cte. però c'è qualcosa che non va nello svolgimento. Cmq non credo sia un cambio di variabile.
La faccenda del meno davanti all'inegrale è questa...quando si fa il cambio di variabile gli estremi di integrazione si invertono...ecco che bilanciano il meno del differenziale...ALmeno penso sia così!!
E perchè mai dovrebbero invertirsi gli estremi? Inoltre se mi fai un cambio di variabile traslando dovresti anche traslare gli estremi. In più la I uguaglianza ha poco senso perchè dentro all'integrale tau è una variabile e t è una costante. Se fosse veramente così derivando otterresti un'uguaglianza poco condivisibile. O no?
C è una costante?
C è una costante?
"Megan00b":
No...aspetta: c'è qualcosa che non torna:
dove finisce la costante C e perchè un prodotto matrice per vettore a destra diventa un prodotto vettore matrice vettore?
Il fatto che $u(tau)$ diventi $u(t-tau)$ è banale visto che u è cte. però c'è qualcosa che non va nello svolgimento. Cmq non credo sia un cambio di variabile.
La matrice C è quel $[[1],[1]]$ che ho portato dentro al segno di integrale.
Quindi abbiamo $[[1],[1]]$ moltiplicato la matrice esponenziale che ci da un vettore riga.
Quindi moltiplichiamo questo vettore riga per il vettore colonna $[[1],[1]]$ e otteniamo uno scalare, cioè: $2(1-e^(-t))$
Anche secondo me il differenziale fa cambiare il segno e quindi o metterei il meno o lascerei il più ma invertirei l'intervallo di integrazione.. così non mi torna..
(P.S.: questa $y(t)$ è l'evoluzione libera dell'uscita di un sistema dinamico lineare stazionario.. che ho provato a simulare con matlab che come uscita mi da proprio $2(1-e^(-t))$ con ingresso (u(t) = costante = 1).. giusto per avere conferma che il calcolo è corretto.)
L'integrale di partenza è questo:
$int_0^t e^(A*(t- tau)) *B *u(tau) d tau$
Ore eseguendo il cambiamento di variabili seguente:
$p=t- tau$ quindi quando $tau=t => p=0$ mentre qando $tau=0 => p=t$, non dimnticando di $d tau=- d p$.
Quindi l'intergrale si riscriverà:
$ - int_t^0 e^(A*p) *B *u(t-p) d p$ e quindi scambiando gli estremi di integrazione si otterrà l'integrale voluto....
$int_0^t e^(A*(t- tau)) *B *u(tau) d tau$
Ore eseguendo il cambiamento di variabili seguente:
$p=t- tau$ quindi quando $tau=t => p=0$ mentre qando $tau=0 => p=t$, non dimnticando di $d tau=- d p$.
Quindi l'intergrale si riscriverà:
$ - int_t^0 e^(A*p) *B *u(t-p) d p$ e quindi scambiando gli estremi di integrazione si otterrà l'integrale voluto....
"clrscr":
L'integrale di partenza è questo:
$int_0^t e^(A*(t- tau)) *B *u(tau) d tau$
Ore eseguendo il cambiamento di variabili seguente:
$p=t- tau$ quindi quando $tau=t => p=0$ mentre qando $tau=0 => p=t$, non dimnticando di $d tau=- d p$.
Quindi l'intergrale si riscriverà:
$ - int_t^0 e^(A*p) *B *u(t-p) d p$ e quindi scambiando gli estremi di integrazione si otterrà l'integrale voluto....
Mitico!
Ci eravamo dimenticati di modificare anche gli estremi di integrazione durante il cambio di variabile!
Grazie a tutti
Perdonami, ho una notte insonne alle spalle quindi forse farnetico, ma non mi sembra molto legale portare dentro un vettore. Cioè voglio dire non è uno scalare.
In ogni caso non ho altre idee, continuo a dire che deve esserci un sontuoso abuso di notazione perhcè così non vuol dire proprio nulla.
In ogni caso non ho altre idee, continuo a dire che deve esserci un sontuoso abuso di notazione perhcè così non vuol dire proprio nulla.
"Megan00b":
Perdonami, ho una notte insonne alle spalle quindi forse farnetico, ma non mi sembra molto legale portare dentro un vettore. Cioè voglio dire non è uno scalare.
In ogni caso non ho altre idee, continuo a dire che deve esserci un sontuoso abuso di notazione perhcè così non vuol dire proprio nulla.
Perdonami tu, ma perchè non trovi ammissibile portare dentro un vettore costante?
Alla fine, se le varie dimensioni delle matrici in questione rispettano i requisiti per avere moltiplicazioni tra matrici, come avviene in questo caso, portare dentro uno scalare quando si lavora con scalari, o portare dentro un vettore costante quando si lavora con vettori e matrici mi sembra la stessa cosa (spero non si senta male nessun matematico nel leggere quello che ho appena scritto
).In ogni caso la formula in questione, che ripeto essere l'uscita di un sistema dinamico lineare stazionario, la trovi in qualsiasi testo di teoria dei sistemi/controlli automatici.. non mi sarei mai permesso di inventarmi di portare dentro un vettore
Ciao!
"Luca D.":
Buongiorno,
ho trovato tale cambiamento di variabile:
$int_0^te^(A*(t-tau))*B*u(tau)d tau = int_0^te^(A*t)*B*u(t-tau)d tau$
da cui mi sembra di capire che è stato posto: $t - tau = p$ e alla fine $p$ è stata rinominata con $tau$
Ma non mi torna una cosa.. facendo i differenziali non verrebbe: $dp = -d tau$? Non ci dovrebbe essere quindi un meno davanti al secondo integrale?
Informazioni di contorno: A è una matrice quadrata nxn, B un vettore nx1 e u(t) una costante (forse è questo che ci aiuta?).
Grazie!
L'integrale proposto è quasi un integrale di convoluzione, se non sbaglio: pertanto la uguaglianza la puoi dimostrare ricorrendo alla proprietà commutativa ed alla linearità della convoluzione di funzioni numeriche.
Se poi vuoi una dimostrazione diretta, quella proposta da clrscr è buonissima.
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