Cambio di sistema di coordinate
Ciao a tutti.
Sto studiando un esame di fluidodinamica. Lo studio viene fatto per pompe radiali, di cui si studia inizialmente solo la sezione meridiana, cioè questa in figura, in cui si vedono anche le linee di flusso, cioè le traiettorie delle particelle di fluido:
L'asse orizzontale è $z$ mentre l'asse verticale è $r$ (scelto $r$ perchè è una sezione di un corpo assialsimmetrico, quindi $theta$ è perpendicolare al foglio).
Il problema mi sorge nel momento in cui devo passare dalle coordinate $(r,z)$ a $(m,n)$. Queste ultime coordinate sono tali che:
$m$ sia tangente alle linee di flusso
$n$ sia perpendicolare alle linee di flusso (quindi anche ad m)
$gamma$ sia l'angolo che $m$ forma con l'orizzontale, quindi con l'asse $z$
Una delle robe che ci servivano era di ottenere i termini $(dr)/(dt)$ e $(d^2 r)/(dt^2)$ nel sistema di coordinate $(m,n)$
[size=150]Lo svolgimento del prof. per il passaggio di coordinate in classe[/size] è questo:
$u=sin gamma*m+cos gamma*n$
$k=cos gamma*m - sin gamma*n$
con $u$ e $k$ rispettivamente versori di $r$ e $z$
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)$
$c_r=(dr)/(dt)=sin gamma c_m+cos gamma*c_n$
quindi considera $gamma$ costante! $c_i$ sono le velocità del fluido
Poi ricava la derivata seconda in maniera differente:
$(d^2 r)/(dt^2)=d/(dt) ((dr)/(dt))$
$(d^2 r)/(dt^2)=d/(dt) (sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt))$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (d gamma)/(dt)*(dm)/(dt)+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (d gamma)/(dt)*(dn)/(dt)$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dm)/(dt)+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dn)/(dt)$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (del gamma)/(del m)*((dm)/(dt))^2+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dn)/(dt)$
$a_r=(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d c_m)/(dt)+cos gamma (del gamma)/(del m)*c_m^2+cos gamma (dc_n)/(dt)-sin gamma (del gamma)/(del m)*c_mc_n$
e a me sembra palese che questa volta, in disaccordo con il pasaggio precedente, ha considerato $gamma(m)$ variabile nel tempo come funzione di $m$
Inoltre poi esplicita pure che :
$(del gamma)/(del m)= 1/(R_c)$
cioè l'inverso del raggio di curvatura della linea di flusso.
Ovviamente [size=150]non sono d'accordo[/size] in quello che secondo me è un errore di fondo, cioè l'aver considerato $gamma$ prima costante e poi variabile!
A mio parere il primo passaggio sarebbe da fare così:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma (del gamma)/(del m)*m-sin gamma (del gamma)/(del m)*n+cos gamma(dn)/(dt)$
Ho provato a chiedere a tutti i miei compagni di corso e loro non vedevano il problema, gli sembrava tutto giusto.
Ho provato a chiedere al prof, e lui mi ha detto che $gamma$ localmente è costante, ma non mi ha saputo dire perchè non era così nel secondo passaggio.
Insomma a me sembra palesemente sbagliato, ma sembra solo a me....mi dite se ho sbagliato e se sì dove???
E' un sacco che vado avanti con sta cosa, e non ce la faccio più!!
Sto studiando un esame di fluidodinamica. Lo studio viene fatto per pompe radiali, di cui si studia inizialmente solo la sezione meridiana, cioè questa in figura, in cui si vedono anche le linee di flusso, cioè le traiettorie delle particelle di fluido:
L'asse orizzontale è $z$ mentre l'asse verticale è $r$ (scelto $r$ perchè è una sezione di un corpo assialsimmetrico, quindi $theta$ è perpendicolare al foglio).
Il problema mi sorge nel momento in cui devo passare dalle coordinate $(r,z)$ a $(m,n)$. Queste ultime coordinate sono tali che:
$m$ sia tangente alle linee di flusso
$n$ sia perpendicolare alle linee di flusso (quindi anche ad m)
$gamma$ sia l'angolo che $m$ forma con l'orizzontale, quindi con l'asse $z$
Una delle robe che ci servivano era di ottenere i termini $(dr)/(dt)$ e $(d^2 r)/(dt^2)$ nel sistema di coordinate $(m,n)$
[size=150]Lo svolgimento del prof. per il passaggio di coordinate in classe[/size] è questo:
$u=sin gamma*m+cos gamma*n$
$k=cos gamma*m - sin gamma*n$
con $u$ e $k$ rispettivamente versori di $r$ e $z$
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)$
$c_r=(dr)/(dt)=sin gamma c_m+cos gamma*c_n$
quindi considera $gamma$ costante! $c_i$ sono le velocità del fluido
Poi ricava la derivata seconda in maniera differente:
$(d^2 r)/(dt^2)=d/(dt) ((dr)/(dt))$
$(d^2 r)/(dt^2)=d/(dt) (sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt))$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (d gamma)/(dt)*(dm)/(dt)+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (d gamma)/(dt)*(dn)/(dt)$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dm)/(dt)+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dn)/(dt)$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (del gamma)/(del m)*((dm)/(dt))^2+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dn)/(dt)$
$a_r=(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d c_m)/(dt)+cos gamma (del gamma)/(del m)*c_m^2+cos gamma (dc_n)/(dt)-sin gamma (del gamma)/(del m)*c_mc_n$
e a me sembra palese che questa volta, in disaccordo con il pasaggio precedente, ha considerato $gamma(m)$ variabile nel tempo come funzione di $m$
Inoltre poi esplicita pure che :
$(del gamma)/(del m)= 1/(R_c)$
cioè l'inverso del raggio di curvatura della linea di flusso.
Ovviamente [size=150]non sono d'accordo[/size] in quello che secondo me è un errore di fondo, cioè l'aver considerato $gamma$ prima costante e poi variabile!
A mio parere il primo passaggio sarebbe da fare così:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma (del gamma)/(del m)*m-sin gamma (del gamma)/(del m)*n+cos gamma(dn)/(dt)$
Ho provato a chiedere a tutti i miei compagni di corso e loro non vedevano il problema, gli sembrava tutto giusto.
Ho provato a chiedere al prof, e lui mi ha detto che $gamma$ localmente è costante, ma non mi ha saputo dire perchè non era così nel secondo passaggio.
Insomma a me sembra palesemente sbagliato, ma sembra solo a me....mi dite se ho sbagliato e se sì dove???
E' un sacco che vado avanti con sta cosa, e non ce la faccio più!!
Risposte
Elimina il carattere più grande, grazie.
Togli la parentesi tonda, grazie.
Ovviamente il gassetto lo puoi lasciare.
Sezione sbagliata: chiedo spostamento in Fisica.
Togli la parentesi tonda, grazie.
Ovviamente il gassetto lo puoi lasciare.
Sezione sbagliata: chiedo spostamento in Fisica.
OK...mi spiace per il carattere grande ma era solo per una lettura più comoda visto che il messaggio è lunghetto...come per titolare le parti. Non posso lasciarlo?
La sezione è sbagliata nonostante il passaggio sia puramente matematico derivativo?
Che parentesi tonda?
(modifica....ah, quella nel titolo
)
La sezione è sbagliata nonostante il passaggio sia puramente matematico derivativo?
Che parentesi tonda?
(modifica....ah, quella nel titolo
)
Con "togli le parentesi tonde" intendevo dirti di togliere le parentesi con annesso il contenuto.
Per il carattere maiuscolo e la sezione, attendiamo il parere di un mod di Analisi: da un punto di vista tematico io lo vedo più come topic di Fisica (parli di raggi di curvatura e funzioni del tempo).
Per il carattere maiuscolo e la sezione, attendiamo il parere di un mod di Analisi: da un punto di vista tematico io lo vedo più come topic di Fisica (parli di raggi di curvatura e funzioni del tempo).
il tuo problema nasce dal fatto (mi pare di aver capito) che la prima è una derivata parziale e la seconda è una derivata totale! C'è differenza! Pensaci e fammi sapere.
"Fox":
il tuo problema nasce dal fatto (mi pare di aver capito) che la prima è una derivata parziale e la seconda è una derivata totale! C'è differenza! Pensaci e fammi sapere.
In effetti è vero, mi era venuto in mente che potesse essere una mia misconoscenza in quello, allora avevo provato a fare questo.
Se immagino $gamma$=costante:
$(dr)/(dt)=(delr)/(delm)*(dm)/(dt)+(delr)/(deln)*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=sin gamma*(dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=d/(dt)(r)=d/(dt)(sin gamma m + cos gamma n)$
$(dr)/(dt)=sin gamma*(dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)$
quindi da lo stesso risultato...svolgendolo nel caso di $gamma$ non costante i due metodi danno comunque gli stessi risultati.
Cioè intendo che se $gamma=gamma(m)$ anche se la derivata è parziale devo derivarlo lo stesso...se non volgio che sia così (ma $gamma è variabile$) credo che dovrei fare:
$(dr)/(dt)=(delr)/(delm)*(dm)/(dt)+(delr)/(deln)*(dn)/(dt)+(delr)/(delgamma)*(dgamma)/(dt)$
ma in questo caso dovrei comunque scrivere nella forma di $gamma=gamma(m)=gamma(m(t))=gamma(t)$
Però tengo sempre a precisare che non sono sicurissimo di quello che dico, perchè è una matematica praticamente intuitiva la mia...matematica da ingegnere
non mi sento a mio agio nel parlare di queste cose...
disperato uppino
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