Cambio di coordinate $u=\frac{x}{y}$, $v=xy$
problema di analfabetismo di ritorno...
per quanto riguarda il calcolo del valore assoluto del determinante dello jacobiano di questo cambio di coordinate, lo sto ricavando mediante il calcolo dello jacobiano della funzione inversa.
ovvero, se $phi^-1(u,v)=(frac{x}{y},xy)$ allora ho
$|\det J phi^-1|=2 \frac{x}{y}$
quindi $|\det J phi|=frac{1}{2 u}$, mentre invece dovrei avere $frac {u}{2}$.
sapreste indicarmi il mio errore?
per quanto riguarda il calcolo del valore assoluto del determinante dello jacobiano di questo cambio di coordinate, lo sto ricavando mediante il calcolo dello jacobiano della funzione inversa.
ovvero, se $phi^-1(u,v)=(frac{x}{y},xy)$ allora ho
$|\det J phi^-1|=2 \frac{x}{y}$
quindi $|\det J phi|=frac{1}{2 u}$, mentre invece dovrei avere $frac {u}{2}$.
sapreste indicarmi il mio errore?
Risposte
Non capisco perchè dovresti avere $u/2$.
Facendo il calcolo diretto dello Jacobiano della trasformazione inversa (ammesso naturalmente che sia tutto ben definito etc.):
$ { ( x=\sqrt{uv} ), ( ), ( y=\sqrt{v/u} ):} $
viene:
$ |j| = | ( v/{2sqrt{uv}} , u/{2sqrt{uv}} ),( -1/{2u}sqrt{v/u} , 1/{2sqrt{uv}} ) | = 1/4 |1/u + 1/u| = 1/{2u}$
Facendo il calcolo diretto dello Jacobiano della trasformazione inversa (ammesso naturalmente che sia tutto ben definito etc.):
$ { ( x=\sqrt{uv} ), ( ), ( y=\sqrt{v/u} ):} $
viene:
$ |j| = | ( v/{2sqrt{uv}} , u/{2sqrt{uv}} ),( -1/{2u}sqrt{v/u} , 1/{2sqrt{uv}} ) | = 1/4 |1/u + 1/u| = 1/{2u}$
L'unica possibilità di avere il risultato che ti pare giusto è che [tex]$u=\tfrac{y}{x}$[/tex].
D'altra parte, ciò sembra sensato se sei nel semipiano [tex]$\{ x>0\}$[/tex]: praticamente stai guardando tale semipiano non secondo la quadrettatura cartesiana, ma secondo la quadrettatura determinata dalla famiglia delle semirette uscenti da $o$ (aventi equazione [tex]$y=ux$[/tex]) e dai rami d'iperboli equilatere (d'equazione [tex]$xy=v$[/tex]) aventi gli assi come sintoti.
Ovviamente queste considerazioni lasciano il tempo che trovano, poichè non hai detto da nessuna parte quale se sei effettivament nel semipiano [tex]$\{ x>0\}$[/tex] o da qualche altra parte.
D'altra parte, ciò sembra sensato se sei nel semipiano [tex]$\{ x>0\}$[/tex]: praticamente stai guardando tale semipiano non secondo la quadrettatura cartesiana, ma secondo la quadrettatura determinata dalla famiglia delle semirette uscenti da $o$ (aventi equazione [tex]$y=ux$[/tex]) e dai rami d'iperboli equilatere (d'equazione [tex]$xy=v$[/tex]) aventi gli assi come sintoti.
Ovviamente queste considerazioni lasciano il tempo che trovano, poichè non hai detto da nessuna parte quale se sei effettivament nel semipiano [tex]$\{ x>0\}$[/tex] o da qualche altra parte.
considerate che il vostro stupore per il fatto che non è che una frazione del mio... 
il passaggio dallo jacobiano dell'inversa a quello della trasformazione lo faccio così:
$J=\frac{1}{2 frac{x}{y}}=frac{1}{2u}$
e mi sembra corretto.
guardando su un libro sembra invece che così non è...
il passaggio dallo jacobiano dell'inversa a quello della trasformazione lo faccio così:
$J=\frac{1}{2 frac{x}{y}}=frac{1}{2u}$
e mi sembra corretto.
guardando su un libro sembra invece che così non è...
Se vedessi che la situzione non si è chiarita con le informazioni che ho fornito, provvederei a fornirne altre... Mi sembrerebbe quantomeno un'azione dettata dal buon senso.
Quindi, perchè non trascrivi l'esercizio?
Quindi, perchè non trascrivi l'esercizio?
tralasciando l'eccessiva confidenza di una risposta sul filo dell'insulto (per la seconda volta... ma evidentemente essere ricchi di buon senso non è sempre sufficiente), vi riporto lo svolgimento dell'esercizio, fino al punto in cui non mi torna più.
è da calcolare $ int int_{Omega } frac{x^3}{y} quad sin(xy) quad dx dy$, $ quad quad Omega={(x,y) in R^2 quad | quad x < y leq 2x, quad 1
si usa nell'integrale il cambio di variabili $(x,y)=phi(u,v)$, e quindi è da calcolare $|det J phi (u,v)|$.
dato che $det J phi^-1(x,y)=|det ( (1/y, -x/y^2), (y, x) )|= 2 quad x / y$, si ha $det J phi(u,v)=1/(|det J phi^-1(x,y)|)$, calcolato ovviamente in $(x,y)=phi(u,v)$, ovvero, secondo il libro, $det J phi(u,v)=u/2$.
quindi, essendo $phi^-1(Omega)=[1/2,1) times (1,2)$
$ int int_{Omega } frac{x^3}{y} quad sin(xy) quad dx dy = int \int_{[1/2,1) times (1,2)} u^2v quad sin(v) quad u/2 quad du dv = quad ... $
questo è quanto, penso di non aver aggiunto nulla a quanto ho già scritto ma non escludo di non aver capito neanche dov'è quello che non ho capito... e la frustrazione aumenta con la consapevolezza che dovrei andare in giro con orecchie d'asino e cilicio...
ringrazio tutti quelli che vogliano leggere questo post anche senza dare suggerimenti, specialmente amministratori e moderatori (indispensabili per tenere in piedi questo utilissimo forum). pregherei però chi vuole lasciare risposte o commenti non strettamente matematici di astenersi o, se la pulsione è davvero incontrollabile, di usare messaggi privati.
grazie ancora a tutti.
è da calcolare $ int int_{Omega } frac{x^3}{y} quad sin(xy) quad dx dy$, $ quad quad Omega={(x,y) in R^2 quad | quad x < y leq 2x, quad 1
si usa nell'integrale il cambio di variabili $(x,y)=phi(u,v)$, e quindi è da calcolare $|det J phi (u,v)|$.
dato che $det J phi^-1(x,y)=|det ( (1/y, -x/y^2), (y, x) )|= 2 quad x / y$, si ha $det J phi(u,v)=1/(|det J phi^-1(x,y)|)$, calcolato ovviamente in $(x,y)=phi(u,v)$, ovvero, secondo il libro, $det J phi(u,v)=u/2$.
quindi, essendo $phi^-1(Omega)=[1/2,1) times (1,2)$
$ int int_{Omega } frac{x^3}{y} quad sin(xy) quad dx dy = int \int_{[1/2,1) times (1,2)} u^2v quad sin(v) quad u/2 quad du dv = quad ... $
questo è quanto, penso di non aver aggiunto nulla a quanto ho già scritto ma non escludo di non aver capito neanche dov'è quello che non ho capito... e la frustrazione aumenta con la consapevolezza che dovrei andare in giro con orecchie d'asino e cilicio...
ringrazio tutti quelli che vogliano leggere questo post anche senza dare suggerimenti, specialmente amministratori e moderatori (indispensabili per tenere in piedi questo utilissimo forum). pregherei però chi vuole lasciare risposte o commenti non strettamente matematici di astenersi o, se la pulsione è davvero incontrollabile, di usare messaggi privati.
grazie ancora a tutti.
Sia che si scelga $u= x/y$ sia che si ponga $u=y/x$ viene comunque $1/{2u}$ lo jacobiano..
Ma è un esercizio guidato del libro? c'è anche un risultato finale?
Facendo l'integrale usando lo jacobiano che viene a noi il risultato a meno di errori di calcolo è una cosa tipo ${3}/4 (cos1-sen1-2cos2+sen2)$..
Ma è un esercizio guidato del libro? c'è anche un risultato finale?
Facendo l'integrale usando lo jacobiano che viene a noi il risultato a meno di errori di calcolo è una cosa tipo ${3}/4 (cos1-sen1-2cos2+sen2)$..
"claudiamatica":
Sia che si scelga $u= x/y$ sia che si ponga $u=y/x$ viene comunque $1/{2u}$ lo jacobiano..
sono d'accordo con te.
il risultato del libro è uguale a te nella parte con seni e coseni (ovviamente) ma a moltiplicare c'è (sempre ovviamente) $15/128$, mentre a me viene $3/16$ (mi sa che o io ho diviso per 2 una volta di troppo o tu ne hai scordata una).
vabè, sarà un errore del libro, e la mia dignità è salva (per ora).
si si scusa $3/{16}$.
Eh lui c'ha una potenza di $u$ maggiore.. dovuta al fatto che lo Jacobiano gli viene in quel modo..
bah.
Non c'è qualche altro esercizio con cambiamento di variabili simile, così vediamo se ci troviamo?
Eh lui c'ha una potenza di $u$ maggiore.. dovuta al fatto che lo Jacobiano gli viene in quel modo..
bah.
Non c'è qualche altro esercizio con cambiamento di variabili simile, così vediamo se ci troviamo?
no, non ce ne è, è l'unico esempio.
beh, direi che se viene così a te e viene così a me, abbiamo dimostrato per induzione che viene così!
beh, direi che se viene così a te e viene così a me, abbiamo dimostrato per induzione che viene così!
Se hai un programma tipo matlab prova a risolvere numericamente l'integrale, vedi se la soluzione è vicina alla nostra o alla sua 
Buttando lì due conti viene anche a me $3/16$ (moltiplicato per la parte trigonometrica, ovviamente).
non so fare integrali doppi su domini non rettangolari con matlab, quindi mi accontento del vostro sostegno (e tanti saluti al libro).
grazie a tutti
grazie a tutti
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