Cambio di coordinate
Scusate per la domanda stupida, ma dalle mie dispense di analisi 2 non capisco proprio come si esegue il passaggio di coordinate con lo jacobiano. non capisco proprio la sintassi,probabilmente mancano dei passaggi ,sicuramente sono tonta io pero' non capisco come passo da dxdy all' elemento infinitesimo di superficie di una sfera/ cilindro... Scusate eh! Grazie in anticipo 
Risposte
Cito direttamente dal De Marco il Teorema di cambiamento di variabile per integrali di Lebesgue:
Siano \(U,V\) aperti di \(\mathbb{R}^n\), e sia \(\varphi: U \to V\) diffeomorfismo di classe \(\mathcal{C}^1\); sia \(f : V \to \mathbb{R}\) funzione. Si ha \(f \in L^1 (V)\) se e solo se \(f \circ \varphi |\text{det} \varphi '| \in L^1 (U)\), ed in tal caso si ha \[\int_V f(y) \, dy = \int_U f(\varphi(x)) |\text{det} \varphi ' (x) | \, dx \]
Questo dovrebbe bastarti, e di esempi ne trovi a bizzeffe in un qualunque testo di Analisi II.
Siano \(U,V\) aperti di \(\mathbb{R}^n\), e sia \(\varphi: U \to V\) diffeomorfismo di classe \(\mathcal{C}^1\); sia \(f : V \to \mathbb{R}\) funzione. Si ha \(f \in L^1 (V)\) se e solo se \(f \circ \varphi |\text{det} \varphi '| \in L^1 (U)\), ed in tal caso si ha \[\int_V f(y) \, dy = \int_U f(\varphi(x)) |\text{det} \varphi ' (x) | \, dx \]
Questo dovrebbe bastarti, e di esempi ne trovi a bizzeffe in un qualunque testo di Analisi II.
rieccomi scusate.perfetto grazie mille!
sono riuscita a calcolare l'elemento di superficie infinitesima in coordinate sferiche,ma ho difficoltà a calcolarlo per le coordinate clindriche ( nell'esercizio mi dice di farlo senza usare lo jacobiano) .Per le coordinate sferiche non ho avuto problemi perchè ho preso la base del cilindroide,ma per le coordinate cilindriche non so se posso fare cosi'...
non mi suona.Come lo imposto? Grazie mille!
sono riuscita a calcolare l'elemento di superficie infinitesima in coordinate sferiche,ma ho difficoltà a calcolarlo per le coordinate clindriche ( nell'esercizio mi dice di farlo senza usare lo jacobiano) .Per le coordinate sferiche non ho avuto problemi perchè ho preso la base del cilindroide,ma per le coordinate cilindriche non so se posso fare cosi'...
non mi suona.Come lo imposto? Grazie mille!
Puoi postare il testo completo dell'esercizio?
Molto fisicamente, l'elemento infinitesimo di volume \(\text{d} V\) in coordinate cilindriche è uno pseudo-cilindretto di altezza \(\text{d} h\) avente come base una figura piana del tipo:
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=-1;ymax=3;
noaxes();
text([1,0],"r",below); text([2.5,0],"dr",below); text([1.9,0.5],"rdθ",right); text([0.5,0.2],"dθ",right);
stroke="lightgray"; line([0,0],[5,2.887]); line([0,0],[5,0]); arc([0.5,0],[0.433,0.25]); circle([0,0],2); circle([0,0],3);
stroke="red"; strokewidth=2; arc([2,0],[1.732,1],2); line([1.732,1],[2.598,1.5]); arc([3,0],[2.598,1.5],3); line([3,0],[2,0]);[/asvg]
che è un settore di corona circolare di ampiezza angolare \(\text{d}\theta\) compreso tra circonferenze di raggi \(r\) ed \(r+\text{d}r\).
Detta \(\text{d}A\) l'area della figura piana, si ha:
\[
\text{d} V=\text{d}A\ \text{d}h
\]
e:
\[
\text{d}A = (r\ \text{d}\theta )\ \text{d}r
\]
(perché \(\text{d}A\) è assimilabile ad un rettangolo infinitesimo con base \(\text{d} r\) ed altezza che giace lungo il tratto infinitesimo di circonferenza di raggio \(r\) ed ampiezza angolare \(\text{d}\theta\)), dunque:
\[
\text{d} V= r\ \text{d}r\ \text{d}\theta\ \text{d}h\; .
\]
Che questo sia il risultato corretto lo puoi controllare subito usando lo jacobiano.
[Tipico esercizio da Fisica I, ai miei tempi...
]
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=-1;ymax=3;
noaxes();
text([1,0],"r",below); text([2.5,0],"dr",below); text([1.9,0.5],"rdθ",right); text([0.5,0.2],"dθ",right);
stroke="lightgray"; line([0,0],[5,2.887]); line([0,0],[5,0]); arc([0.5,0],[0.433,0.25]); circle([0,0],2); circle([0,0],3);
stroke="red"; strokewidth=2; arc([2,0],[1.732,1],2); line([1.732,1],[2.598,1.5]); arc([3,0],[2.598,1.5],3); line([3,0],[2,0]);[/asvg]
che è un settore di corona circolare di ampiezza angolare \(\text{d}\theta\) compreso tra circonferenze di raggi \(r\) ed \(r+\text{d}r\).
Detta \(\text{d}A\) l'area della figura piana, si ha:
\[
\text{d} V=\text{d}A\ \text{d}h
\]
e:
\[
\text{d}A = (r\ \text{d}\theta )\ \text{d}r
\]
(perché \(\text{d}A\) è assimilabile ad un rettangolo infinitesimo con base \(\text{d} r\) ed altezza che giace lungo il tratto infinitesimo di circonferenza di raggio \(r\) ed ampiezza angolare \(\text{d}\theta\)), dunque:
\[
\text{d} V= r\ \text{d}r\ \text{d}\theta\ \text{d}h\; .
\]
Che questo sia il risultato corretto lo puoi controllare subito usando lo jacobiano.
[Tipico esercizio da Fisica I, ai miei tempi...
]
si infatti con lo jacobiano mi esce.A livello intuitivo ( fisico) il calcolo del volume mi è chiaro,è quello dell'elemento infinitesimo di superficie che non sono sicura di sapere impostare...
Testo dell'esercizio: calcolare l'elemento infinitesimo di superficie di un cilindroide la cui base giace nel primo ottante in coordinate cilindriche. putroppo non c'è la soluzione
Io avevo pensato all'elemento infinitesimo di superficie laterale e quindi ho risposto : theta * r * dz ma non sono affatto sicura che sia giusto!grazie mille! (ah poi visto che siamo nel primo ottante ho posto r=1 )
Testo dell'esercizio: calcolare l'elemento infinitesimo di superficie di un cilindroide la cui base giace nel primo ottante in coordinate cilindriche. putroppo non c'è la soluzione
Io avevo pensato all'elemento infinitesimo di superficie laterale e quindi ho risposto : theta * r * dz ma non sono affatto sicura che sia giusto!grazie mille! (ah poi visto che siamo nel primo ottante ho posto r=1 )
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