Cambio di coordinate
Buonasera a tutti.
Volevo chiedervi come si fa a capire gli estremi di integrazioni degli angoli delle coordinate polari e sferiche.
Per esempio se guardate l'esercizio n.11 di questa raccolta http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/Online2/IM-E.pdf potete vedere che applicate le coordinate sferiche fa variare l'angolo phi da 0 a 45 gradi.
Posso capire che questo caso è banale perchè le due parti sono simmetriche rispetto all'asse delle ordinate e quindi di 45 gradi ognuna ma se per esempio erano asimmetriche come potevo fare?
Scusate se sono stato confuso nello spiegare il mio problema....ma in parole povere...come faccio a capire da dove a dove varia l'angolo phi......dove metto l'estremo iniziale o dove quello finale?
Grazie a tutti
Volevo chiedervi come si fa a capire gli estremi di integrazioni degli angoli delle coordinate polari e sferiche.
Per esempio se guardate l'esercizio n.11 di questa raccolta http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/Online2/IM-E.pdf potete vedere che applicate le coordinate sferiche fa variare l'angolo phi da 0 a 45 gradi.
Posso capire che questo caso è banale perchè le due parti sono simmetriche rispetto all'asse delle ordinate e quindi di 45 gradi ognuna ma se per esempio erano asimmetriche come potevo fare?
Scusate se sono stato confuso nello spiegare il mio problema....ma in parole povere...come faccio a capire da dove a dove varia l'angolo phi......dove metto l'estremo iniziale o dove quello finale?
Grazie a tutti
Risposte
Un metodo non c'è, però ci sono dei "trucchetti" se vuoi:
1) per prima cosa, riuscire a disegnare il dominio in coordinate cartesiane ti aiuta a visualizzare come i raggi vettore (la $\rho$ per intenderci) spazzano il dominio e, di conseguenza, comprendere sia eventuali variazioni di $\theta$, sia eventuali casi in cui $\rho$ possa dipendere da esso.
2) riscrivere le condizioni originali in forma polare può essere altresì d'aiuto: alcune condizioni possono darti una risposta banale, altre equazioni/disequazioni più complesse. Tuttavia, il fatto che debba essere sempre e comunque $\rho>0$ e che, in ogni caso, $\theta$ va scelto in un intervallo di ampiezza massima $2\pi$ sono tutte cose che ti possono aiutare a semplificare la risoluzione di tali condizioni e, di conseguenza, determinare le limitazioni corrette.
Sul forum ci sono tanti esercizi risolti in questo senso (se cerchi le discussioni in cui ho risposto io ne troverai centinaia su questi problemi) e in ogni caso se posti degli esempi e provi a fornire uno spunto di come procederesti poi si può tranquillamente lavorare insieme.
1) per prima cosa, riuscire a disegnare il dominio in coordinate cartesiane ti aiuta a visualizzare come i raggi vettore (la $\rho$ per intenderci) spazzano il dominio e, di conseguenza, comprendere sia eventuali variazioni di $\theta$, sia eventuali casi in cui $\rho$ possa dipendere da esso.
2) riscrivere le condizioni originali in forma polare può essere altresì d'aiuto: alcune condizioni possono darti una risposta banale, altre equazioni/disequazioni più complesse. Tuttavia, il fatto che debba essere sempre e comunque $\rho>0$ e che, in ogni caso, $\theta$ va scelto in un intervallo di ampiezza massima $2\pi$ sono tutte cose che ti possono aiutare a semplificare la risoluzione di tali condizioni e, di conseguenza, determinare le limitazioni corrette.
Sul forum ci sono tanti esercizi risolti in questo senso (se cerchi le discussioni in cui ho risposto io ne troverai centinaia su questi problemi) e in ogni caso se posti degli esempi e provi a fornire uno spunto di come procederesti poi si può tranquillamente lavorare insieme.
credo sia una di quelle cose che si impara solo con la pratica. non c'è un procedimento chiaro punto per punto su come fare.
ti dico come si trova l'angolo $\phi$ (mannaggia, io lo chiamo $\theta$!!! >.< matematici antipatici
):
il dominio è $D = {(x,y,z): x^2+y^2+z^2 <= 1, z>=0, z>= x^2+y^2}$
chiediti: cosa succede quando $z= x^2+y^2$? succede che la prima condizione diventa $2z^2 <= 1$ e quando questo avviene? quando $z = 0$ o $z = 1/{\sqrt2}$
cosa è $z$ in coordinate sferiche? $z = \rho cos(\phi)$, dove sai già che $0< \rho <1$ dalla prima condizione che hai nel dominio.
riscrivendo quindi $z = 0$ e $z = 1/{\sqrt2}$, hai $ cos \phi = 0$ e $cos \phi = 1/{\sqrt2}$, che ti danno gli estremi dell'intervallo entro cui varia $\phi$
ti dico come si trova l'angolo $\phi$ (mannaggia, io lo chiamo $\theta$!!! >.< matematici antipatici
):il dominio è $D = {(x,y,z): x^2+y^2+z^2 <= 1, z>=0, z>= x^2+y^2}$
chiediti: cosa succede quando $z= x^2+y^2$? succede che la prima condizione diventa $2z^2 <= 1$ e quando questo avviene? quando $z = 0$ o $z = 1/{\sqrt2}$
cosa è $z$ in coordinate sferiche? $z = \rho cos(\phi)$, dove sai già che $0< \rho <1$ dalla prima condizione che hai nel dominio.
riscrivendo quindi $z = 0$ e $z = 1/{\sqrt2}$, hai $ cos \phi = 0$ e $cos \phi = 1/{\sqrt2}$, che ti danno gli estremi dell'intervallo entro cui varia $\phi$
Grazie a tutti...domani ho l'esame e oggi pomeriggio farò un po' di pratica!
Conoscete qualche sito o qualche buona dispensa dove ci sono integrali con metodo di sostituzione?
Conoscete qualche sito o qualche buona dispensa dove ci sono integrali con metodo di sostituzione?
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