Cambio coordinate in analisi (teoria)

[lozaio]

Ciao, cerco un aiuto riguardo il cambio coordinate. Ad esempio ho imparato in questo corso di analisi 1 a cambiare coordinate da cartesiane a polari (utile anche per i numeri complessi ecc. perché alla fine è "come" un $RR^2$, con molte virgolette sul "come").

Il punto è che non capisco il motivo ma sento di non aver del tutto fatto mio il concetto per quanto sappia usarlo bene ed è qui che vorrei chiedere gentilmente una mano.

Il punto è questo: mettiamo di avere $(x(t),y(t))$ posso anche ribattezzarlo: $(\rhocos\theta(t),rhosin\theta(t))$. se io voglio derivare x(t) rispetto al tempo (ma qualunque altra operazione io svolta, ad esempio se voglio sfruttare gli archi associati e riscrivermi il coseno come seno e il suo arco notevole) posso sempre farlo e sono sicuro che le due rappresentazioni non si discostino.

In alre parole, fatico ad esporre cosa non riesca ad afferrare in pieno, ma non capisco perché sia sicuro di poter operare su una rappresentazione o sull'altro usando le proprietà del coseno, ad esempio, e che mantengano coerenza tra le due cose.

Io definisco una funzione di passaggio coordinata, e va bene x->cosϑ, ma perché se derivo la sua immagine (o svolgo operazioni su archi associati) questa funzione di passaggio mi mantiene coierenza anche sulla derivata di x(t)?

Spero qualcuno possa fugare questo dubbio che mi attanaglia.
Grazie!

[anto_zoolander]

Ciao!

Molto dipende dal "tipo" di funzione che stai trattando ma in generale l'importante è di non perdere informazioni sulla attuale funzione e non "snaturarla".

E' un po lungo, spero ti possa essere utile.

supponiamo di avere una funzione $f:X->Z$

1- non cambiare l'immagine della funzione
-- importante sopratutto per curve, superfici o ipersuperfici
2- se è continua non perdere la continuità
3- se è differenziabile non perdere la differenziabilità

A tal proposito si può considerare di:
1- cambiare proprio funzione, con qualche accorgimento

usare una seconda funzione $g:Y->Z$ con la proprietà che esista una terza funzione $h:Y->X$ continua(o se serve anche differenziabile) che sia anche invertibile con inversa continua(differenziabile)[nota]queste funzioni si chiamano omeomorfismi(continua, invertibile e con inversa continua) e diffeomorfismi(differenziabile, invertibile e con inversa continua)[/nota] per cui vale $g=fcirch$

sembra un concettone assurdo ma fondamentalmente riassume il fatto che

- g è continua se e solo se f lo è
- g è differenziabile se e solo se f lo è
- l'immagine viene mantenuta

per esempio considera la funzione $f(t)=(cos(t),sin(t))$ con $f:[0,2pi]->RR^2$
si può cambiare parametrizzazione in $g(t)=(cos(2t),sin(2t))$ con $g:[0,pi]->RR^2$

di fatto $h:[0,pi]->[0,2pi]$ definita come $h(t)=2t$ rispetta le condizioni di sopra.
nota che l'immagine è sempre una circonferenza percorsa solamente a velocità diverse

quindi in questo contesto per in usare una funzione o l'altra non fa differenza.


2- anteporre una funzione che ci fa comodo

usare una seconda funzione $g:Y->X$ e lavorare su $fcircg:Y->Z$
la proprietà da rispettare è che $g$ abbia le stesse proprietà di $f$(continuità o differenziabilità) e che sia suriettiva, per essere sicuro di non star raggiungendo valori del dominio originale.
Di fatto in questo modo $fcircg(Y)=f(g(Y))=f(X)$ ovvero non alteri l'immagine.

per esempio considera la funzione $f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2)$ con $f:RR^2setminus{(0,0)}->RR$

puoi considerare la funzione $g(r, theta)=(rcostheta,rsintheta)$ con $g:[0,2pi)times(0,+infty)->RR^2$

allora $fcircg(r, theta)=f(rcostheta,rsintheta)=(r^2costhetasintheta)/r^2=1/2sin(2theta)$.

Questo tipo di cambi è molto importante perchè se hai $f:X->RR$ e anteponi $g:Y->X$ allora

$y_0 in Y$ è un punto di max(min) assoluto per $fcircg$ se e solo se $x_0=g(y_0) in X$ è di max(min) assoluto per $f$

di fatto i massimi assoluti per la funzione sopra sono dati quanto $sin(2theta)=1 => theta=pi/4+kpi$
e quindi sono dati da $(r cos( pi/4+kpi),rsin( pi/4 +kpi))$ ovvero $(tsqrt2)/2(1,1)$ ovvero sulla retta $y=x$ privata dell'origine.

infine nota che quando spesso leggi ${(x=x(t)),(y=y(t)):}$ significa proprio anteporre la funzione $g(t)=(x(t),y(t))$

Diciamo che è tutta questione di capire cosa stai facendo e cosa ti serve.

[lozaio]

Grazie davvero per la risposta molto completa.

CI sono solo due punti che vorrei ancora approfondire:

1) Il primo riguarda

sembra un concettone assurdo ma fondamentalmente riassume il fatto che

- g è continua se e solo se f lo è
- g è differenziabile se e solo se f lo è
- l'immagine viene mantenuta

Mi hai mostrato l'utilità proprio di quello che chiedevo, c'è solo una cosa che non ho ben capito, ovvero come mai se fe due funzioni f e g sono differenziabili, allora se differenzio f e differenzio g le f' e g' hanno la stessa immagine entrambe.

Voglio dire, la differenziabilità mi garantisce ad esempio che posso svolgere la derivata, e va bene, però perché svolgendo la derivata si mantiene il medesimo risultato?

2) Il secondo punto è su

$y_0 in Y$ è un punto di max(min) assoluto per $fcircg$ se e solo se $x_0=g(y_0) in X$ è di max(min) assoluto per $f$

COme potrei dimostrare questo fatto?

Grazie ancora

[anto_zoolander]

Figurati, è sempre più piacevole aiutare chi vuol capire

2)

considera $f:X->RR$ e $g:Y->X$

se $x_0 $ è di massimo assoluto per $f$ allora $f(x)leqf(x_0), forall x in X$
quindi $y in Y => g(y) in X => f(g(y))leqf(x_0))$

in particolare essendo $g$ suriettiva esiste un $y_0 in Y$ per cui $g(y_0)=x_0$ pertanto

$f(g(y))leqf(g(y_0)) => fcircg(y)leqfcircg(y_0) , forall y in Y$

viceversa

se $y_0$ è un punto di massimo per $fcircg(y)leqfcircg(y_0), forall y in Y$

essendo $g(y_0) in X$ possiamo porre $g(y_0)=x_0 in X$
ora se $x in X$ per suriettività di $g$ esiste un $y in Y$ per cui $g(y)=x$

da cui per ipotesi $f(x)=f(g(y))leqf(g(y_0))=f(x_0)$

la dimostrazione per il minimo è analoga, puoi provare a farla

1)

Le funzioni $f,g$ hanno la stessa immagine, non $f'$ e $g'$ infatti se pensi alle due funzioni come due parametrizzazioni equivalenti di una curva allora le derivate saranno in genere differenti proprio perchè cambia la velocità di percorrenza della curva stessa.

per esempio prendiamo $f:I->RR^2$ e $g:J->RR^2$ equivalenti, ovvero esiste una terza funzione $h:I->J$ differenziabile, invertibile e con inversa continua per cui $f(t)=gcirch(t)$

differenziano ottieni $f'(t)=g'(h(t))*h'(t)$

questo significa che $f(t)$ e $g(h(t))$ esprimono lo stesso punto e in quel punto le velocità sono differenti
se usiamo $g$ andremo a velocità $g'(h(t))$ in quel punto
se usiamo $f$ nello stesso punto andremo a velocità $g'(h(t))*h'(t)$

il fattore $h'(t)$ ci dice sostanzialmente chi va più veloce in uno stesso punto, infatti

se $abs(h'(t))>1 => norm(f(t))=norm(g'(h(t)))*abs(h'(t))>norm(g'(h(t))$

se $abs(h'(t))=1 => norm(f(t))=norm(g'(h(t)))*abs(h'(t))=norm(g'(h(t))$

se $abs(h'(t))<1 => norm(f(t))=norm(g'(h(t)))*abs(h'(t))
riassumendo: il legame dato da $h$ ci esprime
1 - come passare da una parametrizzazione all'altra
2 - con quale parametrizzazione andiamo più veloce in uno stesso punto

se hai anche esempi o esercizi che vuoi utilizzare come possibili esempi possiamo sfruttarli per vedere quanto detto

infine, solitamente:
il cambio 1 si utilizza per studiare funzioni del tipo $f:X->RR$ e in particolare massimi e minimi
il cambio 2 si utilizza per studiare curve, superfici,ecc..

[lozaio]

Buonasera

2) C'è una cosa che in prima lettura mi era sfuggita ma che ora noto non mi era del tutto chiaro, prendiamo f che sia continua (o anche di più): differenziabile... non credo di aver capito perché garantire che h sia un omeomorfismo (o differenziabile) mandi questa proprietà anche su una generica g.
Inizialmente pensavo di dover prendere g e f con le stesse proprietà e poi cercare che esistesse una h omeomorfismo o diffeomorfismo a seconda dei casi, invece rileggendo mi pare che presa f con una data proprietà se trovo h come sopra essa automaticamente garantisce le proprietà su g. Non riesco a capire perché


Per quanto riguarda la 1)

invece ho provato a ridimostrare come hai consigliato e mi viene. Tuttavia anche qui vorrei chiederti una cosa, anche se discosta un po' dal thread principale in quanto il dubbio è del tutto ripsolto.
Il punto è che ho capito e riesco a riprodurla, ma sono sicuro che tra un po' perderò questa capacità, mi è già capitato.

Vorrei quindi chiederti una dritta sullo studio, intuisco che sei sicuramente più avanti di me negli studi e mi pongo questo dubbio da sempre e ancora di più ora che ho dato l'esonero di analisi. Ma nel tempo è consigliabile rileggersi un testo di analisi 1 ad esempio (anche dal principio)? Cioè una volta superato l'esame ti è mai capitato di ristudiarti tutto da capo? Lo chiedo perché molto spesso mi capita di leggere e rileggere ma mi accorgo che così facendo è come se non procedessi ed entrassi in un frattale infinito su un singolo argomento perché sento che mi manca sempre qualhe pezzettino o che scopro qualcosa.

Schematizzando per semplificare:
a) E' quindi giusto procedere su cose nuove anche se qualcosa non si è capito? O meglio capire tutto e poi passare oltre?
b) so che le cose dovrebbero dimostrarsi da soli, ma mi chiedo: un bravo matematico riprende discorsi vecchi ogni tanto? Intendo dire, è consigliabile ogni tanto rispolverare tutto daccapo riaprendosi un libro di analisi 1 anche se si sta preparando analisi n o non dovrebbe sentirsi tale necessità? E se sì quante volte farlo.. una volta ongi tot anni un buon matematico lo fa? oppure mai? o ancora x volte?

Sono dubbi stupidi di uno studente stupido ma mi tormentano, mi sento così insicuro. Ma un parere o anche una esperienza mi farebbe piacere sentirla

Ti ringrazio molto.

[anto_zoolander]

2) basta notare che composizione di funzioni continue è continua e composizione di funzioni differenziabili è differenziabile. Quindi essendo $g=fcirch$ la continuità(differenziabilità) su $f$ e $h$ si tramanda su $g$ per composizione.

Capita che si possa riprendere un libro o un argomento in qualsiasi momento.
Un grande problema in Matematica è che non si cerca di capire dove si vuole andare a finire con una dimostrazione, si finisce involontariamente per rileggere nella propria testa la dimostrazione letta in un quaderno o in un libro e sopratutto non focalizzarsi più sulla tesi che sulle ipotesi.
Quando leggi una dimostrazione devi capirne la logica e il senso di ogni passaggio, quantomeno agli inizi perché progredendo con gli studi poi la cosa diventa davvero difficile.
Un'altra cosa importante è di non cercare di imparare tutte le dimostrazioni possibili ed immaginabili, piuttosto massimizzare l'apprendimento di quelle più importanti.
Dimenticherai sempre qualcosa ma l'esperienza(che non deve essere per forza decennale) ti servirà proprio per saper ragionare adeguatamente per produrre un risultato in completa autonomia.

Per esempio ieri avevo dimenticato una cosa sulle serie di potenze, mi sono seduto e l'ho ripresa.

L'unico consiglio che posso darti è di creare collegamenti tra i vari argomenti e le varie materie, questo ti potrebbe a dimenticare meno.
Per esempio anche quando fai a fare il differenziale pinnolone tra $RR^n$ e $RR^m$ usa tutta l'algebra lineare che hai imparato e mescolala con l'analisi, poi avrai una visione di insieme che ti aiuterà.

Magari ora posso dare la sensazione di sapere ciò che dico, ma c'è stato un periodo nel quale non era così

[lozaio]

"anto_zoolander":
Per esempio ieri avevo dimenticato una cosa sulle serie di potenze, mi sono seduto e l'ho ripresa]

Ammiro moltissimo questa capacità, non ricordarsi e ricostruirla. Il fatto che spesso seppur mi sforzi, capisca bene la logica è come se facendo altre cose le nozioni si sovrapponessero e le potessi riprendere solo con sforzo (molte persone fai la domanda e già sono sul pezzo) e a volte nemmeno con sforzo le recupero. Forse è anche una questione di predisposizione che devo ammettere a me manca, seppure ami questa materia e la studi con amore appunto.

Farò tesoro di questi consigli, alla fine non diventerò un gran pensatore ma spero di poter migliorare nel mio piccolo

Grazie per i consigli se ne hai altri per me sono oro colato !!

Ti auguro un bel fine settimana