Cambiamento variabili Integrali doppi
Salve a tutti, mi sto scervellando per cercare di capire questa pagina di appunti del mio prof ma proprio non ci salto fuori.
Non mi è chiara per nulla la terminologia e di conseguenza non riesco a capire i suoi esempi.
Qualche buon samaritano mi potrebbe spiegare come fa a creare qualla matrice $((5,2),(1,3))$ ?
E non riesco neanche a capire come determina gli estremi di integrazione...quell' $1-u$ dove salta fuori?
Grazie mille a tutti voi..!!
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Non mi è chiara per nulla la terminologia e di conseguenza non riesco a capire i suoi esempi.
Qualche buon samaritano mi potrebbe spiegare come fa a creare qualla matrice $((5,2),(1,3))$ ?
E non riesco neanche a capire come determina gli estremi di integrazione...quell' $1-u$ dove salta fuori?
Grazie mille a tutti voi..!!
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Risposte
Certo, ogni tanto ricordare un po' di [tex]$\text{Geometria } 1.25$[/tex] servirebbe...
Vuoi un'applicazione affine [tex]$f(x,y)$[/tex] che mandi i tre punti distinti [tex]$(0,0),(1,0),(0,1)$[/tex] rispettivamente nei tre punti distinti [tex]$(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)$[/tex]: tale applicazione si ottiene come somma di [tex]$f(0,0) =(x_0,y_0)$[/tex] e di un'applicazione lineare [tex]$\varphi :\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$[/tex].
L'applicazione [tex]$\varphi$[/tex] non è altro che quell'applicazione che manda il vettore [tex]$(1,0)=(1,0)-(0,0)$[/tex] in [tex]$(x_1-x_0,y_1-y_0)=(x_1,y_1)-(x_0,y_0)$[/tex] ed il vettore [tex]$(0,1)=(0,1)-(0,0)$[/tex] in [tex]$(x_2-x_0,y_2-y_0)=(x_2,y_2)-(x_0,y_0)$[/tex]; la matrice [tex]$\Phi$[/tex] associata a [tex]$\varphi$[/tex] rispetto alla base canonica si scrive mettendo in colonna le componenti dei vettori immagine:
[tex]$\Phi = \begin{pmatrix} x_1-x_0 & x_2-x_0\\ y_1-y_0 & y_2-y_0\end{pmatrix}$[/tex],
quindi:
[tex]$\varphi(x,y) =\begin{pmatrix} x_1-x_0 & x_2-x_0\\ y_1-y_0 & y_2-y_0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} $[/tex].
Infine:
[tex]$f(x,y)= \begin{pmatrix} x_1-x_0 & x_2-x_0\\ y_1-y_0 & y_2-y_0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_0\\ y_0\end{pmatrix}$[/tex].
Vuoi un'applicazione affine [tex]$f(x,y)$[/tex] che mandi i tre punti distinti [tex]$(0,0),(1,0),(0,1)$[/tex] rispettivamente nei tre punti distinti [tex]$(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)$[/tex]: tale applicazione si ottiene come somma di [tex]$f(0,0) =(x_0,y_0)$[/tex] e di un'applicazione lineare [tex]$\varphi :\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$[/tex].
L'applicazione [tex]$\varphi$[/tex] non è altro che quell'applicazione che manda il vettore [tex]$(1,0)=(1,0)-(0,0)$[/tex] in [tex]$(x_1-x_0,y_1-y_0)=(x_1,y_1)-(x_0,y_0)$[/tex] ed il vettore [tex]$(0,1)=(0,1)-(0,0)$[/tex] in [tex]$(x_2-x_0,y_2-y_0)=(x_2,y_2)-(x_0,y_0)$[/tex]; la matrice [tex]$\Phi$[/tex] associata a [tex]$\varphi$[/tex] rispetto alla base canonica si scrive mettendo in colonna le componenti dei vettori immagine:
[tex]$\Phi = \begin{pmatrix} x_1-x_0 & x_2-x_0\\ y_1-y_0 & y_2-y_0\end{pmatrix}$[/tex],
quindi:
[tex]$\varphi(x,y) =\begin{pmatrix} x_1-x_0 & x_2-x_0\\ y_1-y_0 & y_2-y_0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} $[/tex].
Infine:
[tex]$f(x,y)= \begin{pmatrix} x_1-x_0 & x_2-x_0\\ y_1-y_0 & y_2-y_0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_0\\ y_0\end{pmatrix}$[/tex].
Grazie mille Gugo ho capito come calcolare la matrice Jacobiana!
E adesso come faccio a determinare gli estremi di integrazione?
Perchè u varia fra 0 ed 1 mentre v fra 0 ed 1-u ?Come si determinano?
Grazie ancora
E adesso come faccio a determinare gli estremi di integrazione?
Perchè u varia fra 0 ed 1 mentre v fra 0 ed 1-u ?Come si determinano?
Grazie ancora
Beh una volta fatto il cambio di variabile, te lo potresti disegnare e vedere tramite il disegno dove variano $u,v$
Pensavo fosse tutto chiaro invece no...
allora nel mio primo post la matrice jacobiana è: $((x),(y))=((5,2),(1,3))((u),(v))+((1),(1))$
Secondo me c'è un errore nell'impostazione dell'integrale:
$13int_0^1du int_0^{1-u}(6u+5v)dv$
non dovrebbe essere $13int_0^1du int_0^{1-u}(6u+5v+2)dv$ ?
Ho aggiunto quel più 2 perche l'integrale iniziale è $intint_A (x+y)dxdy$ allora non dovrei sommare x ed y quindi anche il vettore $((1),(1))$ ?
allora nel mio primo post la matrice jacobiana è: $((x),(y))=((5,2),(1,3))((u),(v))+((1),(1))$
Secondo me c'è un errore nell'impostazione dell'integrale:
$13int_0^1du int_0^{1-u}(6u+5v)dv$
non dovrebbe essere $13int_0^1du int_0^{1-u}(6u+5v+2)dv$ ?
Ho aggiunto quel più 2 perche l'integrale iniziale è $intint_A (x+y)dxdy$ allora non dovrei sommare x ed y quindi anche il vettore $((1),(1))$ ?
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