Cambiamento ordine di integraziome
Ho questo integrale doppio da calcolare
$int_D((sqrt(y)arctg(x+y))/((y+1)(1+(x+y)^2)) dxdy)$
Dove D è il dominio delimitato dalle rette
$y=0; y=2; x+y = 2; x+y =4$
Il dominio è normale rispetto ai 2 assi e, rispetto a quello x, viene fuori
$0<=x<=2$
$2-x<=y<=4-x$
In tal caso però è per me difficoltoso integrare prima rispetto a y e poi rispetto a x.
Se integro rispetto a x prima, infatti, posso portare fuori $sqrt(y)/(y+1)$ e con una sostituzione integrare il rimanente in x, ma non riesco a trovare le limitazioni del dominio come normale rispetto all'altro asse!
Mi aiutate? Grazie mille!
$int_D((sqrt(y)arctg(x+y))/((y+1)(1+(x+y)^2)) dxdy)$
Dove D è il dominio delimitato dalle rette
$y=0; y=2; x+y = 2; x+y =4$
Il dominio è normale rispetto ai 2 assi e, rispetto a quello x, viene fuori
$0<=x<=2$
$2-x<=y<=4-x$
In tal caso però è per me difficoltoso integrare prima rispetto a y e poi rispetto a x.
Se integro rispetto a x prima, infatti, posso portare fuori $sqrt(y)/(y+1)$ e con una sostituzione integrare il rimanente in x, ma non riesco a trovare le limitazioni del dominio come normale rispetto all'altro asse!
Mi aiutate? Grazie mille!
Risposte
Un disegno fatto bene ti dà la risposta.
Il disegno l'ho fatto fin dall'inzio anche per trovare le limitazioni come dominio normale rispetto all'asse X
Mi risulta un parallelogramma con i 4 vertici in (0,2), (0,4),(4,0),(4,2)
y è chiaramente compreso tra 0 e 4, mentre non riesco a trovare le equazioni di x!
Mi risulta un parallelogramma con i 4 vertici in (0,2), (0,4),(4,0),(4,2)
y è chiaramente compreso tra 0 e 4, mentre non riesco a trovare le equazioni di x!
Comunque è sbagliata anche la tua riduzione rispetto a $x$; dal disegno ti accorgi che $D$ è dato dall'unione di due insiemi: $D_1={0 \le x \le 2, 2-x \le y \le 2}$ e $D_2={2 \le x \le 4, 0 \le y \le 4-x}$. La riduzione rispetto a $y$ è più facile: $D={0 \le y \le 2, 2-y \le x \le 4-y}$.
Non ho capito come hai trovato che x è compreso tra 2-y e 4-y
Allora, ho disegnato il tutto e ho un disegno di questo tipo
Allora, ho disegnato il tutto e ho un disegno di questo tipo
Si dice che la regione è delimitata, in particolare, dalle rette $y=0$ e $y=2$, per cui la parte che sta sopra la retta $y=2$ non è compresa in $D$.
Ciao a tutti.
Vincent, Luca.Lussardi ha trovato che $2-y \le x \le 4-y$, semplicemente dai dati che hai fornito tu all'inizio, cioè dalle rette $x+y=2$ e $x+y=4$. In pratica Luca ha trovato la $x$ in funzione della $y$, portando la $y$ al secondo membro. Capito?
Luca posso chiederti qualcosa in proposito? In questo esercizio non è complicato trovare il dominio di integrazione, aiutandosi anche col disegno, ma in alcuni esercizi, come un integrale triplo, in cui è presente anche la terza coordinata $z$ e si ha ad esempio $z >= x^2 + y^2$, è sempre opportuno fare il disegno?
Vincent, Luca.Lussardi ha trovato che $2-y \le x \le 4-y$, semplicemente dai dati che hai fornito tu all'inizio, cioè dalle rette $x+y=2$ e $x+y=4$. In pratica Luca ha trovato la $x$ in funzione della $y$, portando la $y$ al secondo membro. Capito?
Luca posso chiederti qualcosa in proposito? In questo esercizio non è complicato trovare il dominio di integrazione, aiutandosi anche col disegno, ma in alcuni esercizi, come un integrale triplo, in cui è presente anche la terza coordinata $z$ e si ha ad esempio $z >= x^2 + y^2$, è sempre opportuno fare il disegno?
Sempre no, anzi in 3d spesso non si riesce, ma se si tratta di quadriche e/o piani si può tentare.
Ho capito, molto gentile, ti ringrazio. 
Ad esempio, se ho un dominio $D = { x^2 + y^2 + z^2 <= 1, z>= x^2 + y^2}$ per un integrale triplo, serve qui fare il disegno? Come faccio a trovare gli intervalli di $x$, $y$ e $z$ per impostare e risolvere l'integrale? Ho già provato con le coordinate sferiche, ma senza successo.
Grazie.
Ad esempio, se ho un dominio $D = { x^2 + y^2 + z^2 <= 1, z>= x^2 + y^2}$ per un integrale triplo, serve qui fare il disegno? Come faccio a trovare gli intervalli di $x$, $y$ e $z$ per impostare e risolvere l'integrale? Ho già provato con le coordinate sferiche, ma senza successo.
Grazie.
Per l'appunto qui si tratta di due quadriche: sei dentro la sfera di centro $(0,0,0)$ e raggio $1$ (condizione $x^2+y^2+z^2 \le 1$) e sei sopra il paraboloide ellittico di equazione $z=x^2+y^2$ (condizione $z\ge x^2+y^2$). La loro intersezione è una circonferenza, la quale ha come proiezione sul piano $xy$ una circonferenza che delimita un cerchio $E$. L'integrale triplo dato quindi si riduce come $\int_D f(x,y,z)dxdydz=\int_E (\int_{x^2+y^2}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}f(x,y,z)dz)dxdy$.
Grazie Luca per la tua risposta!
Mi hai chiarito un pò le idee. Ieri, inoltre, prima che leggessi la tua risposta, sono arrivato ad una scrittura simile alla tua, usando le coordinate cilindriche. Aprirò un nuovo topic sul mio esercizio, in modo da parlarne meglio. Ciao!
Mi hai chiarito un pò le idee. Ieri, inoltre, prima che leggessi la tua risposta, sono arrivato ad una scrittura simile alla tua, usando le coordinate cilindriche. Aprirò un nuovo topic sul mio esercizio, in modo da parlarne meglio. Ciao!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo