Cambiamento di variabili in coordinate cilindriche
Calcola l'integrale $\int int int_\Omegay^2/(x^2+y^2)dxdydz$, dove $\omega$ è la regione di $R^3$ esterna al cilindro di equazione $x^2+y^2=1$, interna al cilindro di equazione $(x-1)^2+y^2=1$ e compresa tra il piano $z=0$ e il grafico della funzione $z=(x^2+y^2)/x^2$
$\omega={(x,y,z):1<=x^2+y^2<=2x,0<=z<=(x^2+y^2)/x^2}$
Non sono riuscito ancora a capire bene il metodo per cambiare le variabili.
$\omega={(x,y,z):1<=p<=2x,0<=\theta<=2\pi,0<=z<=1/cos\theta}$
e da qui non ne vengo più fuori a mettere bene questo dominio che ho trovato perchè ho ancora la x in p e dovrei far si di non averla (forse)?
$\omega={(x,y,z):1<=x^2+y^2<=2x,0<=z<=(x^2+y^2)/x^2}$
Non sono riuscito ancora a capire bene il metodo per cambiare le variabili.
$\omega={(x,y,z):1<=p<=2x,0<=\theta<=2\pi,0<=z<=1/cos\theta}$
e da qui non ne vengo più fuori a mettere bene questo dominio che ho trovato perchè ho ancora la x in p e dovrei far si di non averla (forse)?
Risposte
"smule98":
e da qui non ne vengo più fuori a mettere bene questo dominio che ho trovato perchè ho ancora la x in p e dovrei far si di non averla (forse)?
Scusami smule98, ma hai vagamente idea di cosa stai facendo? Cosa ti dice il teorema di cambio di variabile per gli integrali multipli?
Quando cambi variabili devi esprimere tutto in funzione delle nuove variabili, quindi sì, quel $2x$ non può rimanere.
Perché lo hai fatto per le altre coordinate e non per $2x$?
Poi ti consiglio caldamente di scrivere il cambio di variabili che esegui, le coordinate cilindriche non sono univoche; inoltre questo è sbagliato
"smule98":
$0<=z<=1/cos\theta$
Ci dovrebbe essere un $\cos^2 \theta$ al denominatore.
Ciao smule98,
Oltre all'errore che ti ha già segnalato Mephlip,
ne hai commessi altri qui:
Innanzitutto lo chiamerei $\omega'$ e non ancora $\omega = {(x,y,z) : 1 <= x^2+y^2 <= 2x, 0 <= z <= (x^2+y^2)/x^2}$; poi non sarà $(x,y,z) $, ma $(\rho, \theta, z) $; inoltre non si ha ciò che hai scritto, ma $1 <= \rho^2 <= 2\rho cos\theta $: da $\rho^2 >= 1 $, dovendo essere naturalmente $\rho >= 0 $, ne segue $\rho >= 1 $. Dall'altra disequazione $ \rho^2 <= 2\rho cos\theta \implies \rho <= 2 cos\theta $.
Quindi in definitiva si ha:
$ \omega' ={(\rho, \theta, z): 1 <= \rho <= 2cos\theta, -\pi/3 <= \theta <= \pi/3, 0 <= z <= 1/cos^2\theta} $
Oltre all'errore che ti ha già segnalato Mephlip,
"Mephlip":
Ci dovrebbe essere un $cos^2\theta $ al denominatore.
ne hai commessi altri qui:
"smule98":
Non sono riuscito ancora a capire bene il metodo per cambiare le variabili.
$ \omega={(x,y,z):1<=p<=2x,0<=\theta<=2\pi,0<=z<=1/cos\theta} $
Innanzitutto lo chiamerei $\omega'$ e non ancora $\omega = {(x,y,z) : 1 <= x^2+y^2 <= 2x, 0 <= z <= (x^2+y^2)/x^2}$; poi non sarà $(x,y,z) $, ma $(\rho, \theta, z) $; inoltre non si ha ciò che hai scritto, ma $1 <= \rho^2 <= 2\rho cos\theta $: da $\rho^2 >= 1 $, dovendo essere naturalmente $\rho >= 0 $, ne segue $\rho >= 1 $. Dall'altra disequazione $ \rho^2 <= 2\rho cos\theta \implies \rho <= 2 cos\theta $.
Quindi in definitiva si ha:
$ \omega' ={(\rho, \theta, z): 1 <= \rho <= 2cos\theta, -\pi/3 <= \theta <= \pi/3, 0 <= z <= 1/cos^2\theta} $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo