Cambiamento di variabile nei residui
Un'altra proposizione di analisi complessa di cui non riesco a convincermi, tratta dal Lang Complex analysis 3a edizione, pagina 185.
[edit] vedi post successivo.
[edit] vedi post successivo.
Risposte
Provo a spiegarlo meglio, magari si capirà di più.
Lang fa questa costruzione: data una funzione $f$ meromorfa in un aperto $U$, definisce un oggetto formale $f(z)"d"z$, che chiama differenziale meromorfo. Per ogni cambiamento di variabile biolomorfo $z=h(w)$, lui dichiara che $f(z)"d"z=f[h(w)]h'(w)"d"w$. (Questi $f(z)"d"z$ non sono altro che una classe di equivalenza di funzioni, nota mia).
L'utilità di questa definizione, dice lui, sta nel fatto che è possibile definire il residuo in un punto di tutto $f(z)"d"z$, indipendente dai cambiamenti di variabile.
Infatti lui dimostra questo teorema:
Beh, a me questa Proof, purtroppo, non convince. Capisco che uno faccia un cambiamento di variabile negli integrali, ma perché il primo integrale è uguale a $b_(-1)$?
Osservazione conclusiva: Lang poi usa questi differenziali meromorfi per definire il residuo all'infinito. In ultima analisi gli servono solo a questo.
________________________________________
[*] $h$ fa corrispondere biunvocamente $U$ con un altro aperto, è olomorfa con l'inversa olomorfa. Lui chiama questa $h$, con linguaggio geometrico, coordinata locale in $z_0$.
Lang fa questa costruzione: data una funzione $f$ meromorfa in un aperto $U$, definisce un oggetto formale $f(z)"d"z$, che chiama differenziale meromorfo. Per ogni cambiamento di variabile biolomorfo $z=h(w)$
L'utilità di questa definizione, dice lui, sta nel fatto che è possibile definire il residuo in un punto di tutto $f(z)"d"z$, indipendente dai cambiamenti di variabile.
Infatti lui dimostra questo teorema:
Theorem 1.8 Let $w$ be a local coordinate at $z_0$. Let $omega$ be a meromorphic differential in a neighborhood of $z_0$ and write $omega=f(z)"d"z=g(w)"d"w$, with the power series expansions $f(z)=sum_{n=m}^inftya_n(z-z_0)^n, g(w)=sum_{n=m}^inftyb_nw^n$. [size=75][Osservazione: Lui ha supposto per semplicità che il cambiamento di variabile $z=h(w), w=phi(z)$ trasformi un intorno di $z_0$ in un intorno dello $0$. Inoltre gli sviluppi di Laurent partono da un $m\inZZ$ perché lui mette nelle ipotesi che $omega$ sia meromorfo.][/size]
Then the residues of the power series for $f$ and $g$ are equal, that is:
$b_(-1)=a_(-1)$.
Proof: Let $gamma$ be a small circle around $z_0$. Let $w=phi(z)$. Then:
$b_(-1)=1/(2pii)int_(phicircgamma) g(w)"d"w=1/(2pii)int_gammaf(z)"d"z=a_(-1)$. /////
Beh, a me questa Proof, purtroppo, non convince. Capisco che uno faccia un cambiamento di variabile negli integrali, ma perché il primo integrale è uguale a $b_(-1)$?
Osservazione conclusiva: Lang poi usa questi differenziali meromorfi per definire il residuo all'infinito. In ultima analisi gli servono solo a questo.
________________________________________
[*] $h$ fa corrispondere biunvocamente $U$ con un altro aperto, è olomorfa con l'inversa olomorfa. Lui chiama questa $h$, con linguaggio geometrico, coordinata locale in $z_0$.
Se $\phi$ trasforma un intorno di $z_0$ in un intorno di $0$, essendo $b_k$ la successione di coefficienti dello sviluppo di Laurent $g(w)$ centrato in $0$ risulta per definizione di residuo che $1/(2\pi i)\int_{\phi \circ \gamma} g(w)dw = b_{-1}$
Io veramente direi che, per il teorema dei residui, $1/(2pii)int_{phicircgamma)g(w)"d"w="Ind"_(phicircgamma)(0)"Res"(g;0)$. Su questo, sì, siamo d'accordo. Ma quell'$"Ind"$...come fai a dire che vale 1?
Cosa centra il teorema dei residui?!
Non ho capito dove sia il problema a quanto pare... con il cambio di variabili è ovvio che cambia anche il cammino di integrazione, non vedo quale sia il problema.
Non ho capito dove sia il problema a quanto pare... con il cambio di variabili è ovvio che cambia anche il cammino di integrazione, non vedo quale sia il problema.
Come fai a dire che $1/(2pii)int_(phicircgamma)g(w)"d"w$ sia uguale proprio a $b_(-1)$? Questo fatto è vero se stai integrando su una circonferenza percorsa una sola volta, o su qualcosa di "simile" ad essa. Ma chi ti dice, per esempio, che quell'integrale non faccia 0? O che il verso di percorrenza di $phicircgamma$ non sia negativo, e che quindi alla fine non ci troviamo con $-b_(-1)$?
Spero di avere chiarito a sufficienza il mio dubbio... Altrimenti dimmelo che provo a spiegarmi meglio.
Spero di avere chiarito a sufficienza il mio dubbio... Altrimenti dimmelo che provo a spiegarmi meglio.
Forse basta notare che il cambiamento di coordinate $h$ è una rappresentazione conforme (quindi conserva il verso di percorrenza di $gamma$) e che $h$ è biiettiva (quindi se $gamma$ è semplice, anche $h\circ gamma$ è semplice).
Probabilmente hai ragione. Ma non mi sembra tanto ovvio come ragionamento. Poi ci sarebbero da fare delle considerazioni geometriche che non mi sembrano tanto scontate: ad esempio, chi ci garantisce che $w_0$ sia nell'interno di $phicircgamma$? Se questo non succede l'integrale della $g$ fa zero e addio.
Inoltre, chi ci dice che l'indice di una curva semplice e chiusa sia necessariamente 0, 1 o al massimo -1? Altra cosa che tanto ovvia non mi pare. (per essere vero sarà vero ma come lo dimostriamo?)
E tutto questo solo per definire il residuo all'infinito. No, io sto seriamente pensando di lasciare perdere tutto questo argomento, in fondo si tratta solo di un paragrafo.
P.S.:Naturalmente se qualcuno non dovesse essere d'accordo e lo facesse sapere, mi farebbe un piacere!
Inoltre, chi ci dice che l'indice di una curva semplice e chiusa sia necessariamente 0, 1 o al massimo -1? Altra cosa che tanto ovvia non mi pare. (per essere vero sarà vero ma come lo dimostriamo?)
E tutto questo solo per definire il residuo all'infinito. No, io sto seriamente pensando di lasciare perdere tutto questo argomento, in fondo si tratta solo di un paragrafo.
P.S.:Naturalmente se qualcuno non dovesse essere d'accordo e lo facesse sapere, mi farebbe un piacere!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo