Cambiamento di variabile integrali doppi
Buonasera, avrei un dubbio specifico riguardo il cambiamento di variabile in due incognite. Il processo mi è chiaro e mi sto dando agli esercizi, il problema è che quando si tratta di ricavare i nuovi estremi dell'area considerata, mi trovo sempre davanti a soluzioni basate su considerazioni geometriche. Il che ovviamente va bene, ma vorrei anche arrivarci matematicamente. Mi aiuto con un esempio:
L'area considerata è $D={(x,y), x^2/a^2+y^2/b^2<1}$
Ora, passando alle coordinate polari (perchè ho simmetria), come trovo $rho, theta$? Il mio tentativo mi ha portato qui, ma non so se sia giusto né tantomeno come proseguire:
${ ( x=arhocostheta ),( y=brhosintheta ):}$
$x^2/a^2+y^2/b^2<1->(a^2rho^2cos^2theta)/a^2+(b^2rho^2sin^2theta)/b^2<1->rho^2<1->0
Grazie!
L'area considerata è $D={(x,y), x^2/a^2+y^2/b^2<1}$
Ora, passando alle coordinate polari (perchè ho simmetria), come trovo $rho, theta$? Il mio tentativo mi ha portato qui, ma non so se sia giusto né tantomeno come proseguire:
${ ( x=arhocostheta ),( y=brhosintheta ):}$
$x^2/a^2+y^2/b^2<1->(a^2rho^2cos^2theta)/a^2+(b^2rho^2sin^2theta)/b^2<1->rho^2<1->0
Grazie!
Risposte
Ciao Silence,
In realtà poi si tratta di coordinate ellittiche per le quali, in assenza di particolari limitazioni, esattamente come per le polari, si ha $\theta \in [0, 2\pi) $
"Silence":
passando alle coordinate polari
In realtà poi si tratta di coordinate ellittiche per le quali, in assenza di particolari limitazioni, esattamente come per le polari, si ha $\theta \in [0, 2\pi) $
Considera che $\theta \in [0,2\pi)$ per come sono definite le coordinate polari, poi se ci sono altre limitazioni esse vanno intersecate con l'intervallo $[0,2\pi)$: per esempio, se avessi avuto in $D$ anche $y \geq 0$, questo si sarebbe trasformato in $b \rho \sin \theta \geq 0$ e dunque deve risultare $\sin \theta \geq 0$; ossia $\theta \in [0,\pi]$.
Se avessi avuto in $D$ le condizioni $x \geq 0$ e $y \geq 0$ avresti ottenuto in conclusione $\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$.
In generale le limitazioni saltano fuori dall'insieme o sono un po' "nascoste" nelle condizioni di esistenza (frase orrenda, quest'ultime andrebbero sempre considerate fin da subito).
Se avessi avuto in $D$ le condizioni $x \geq 0$ e $y \geq 0$ avresti ottenuto in conclusione $\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$.
In generale le limitazioni saltano fuori dall'insieme o sono un po' "nascoste" nelle condizioni di esistenza (frase orrenda, quest'ultime andrebbero sempre considerate fin da subito).
"pilloeffe":
Ciao Silence,
[quote="Silence"]passando alle coordinate polari
In realtà poi si tratta di coordinate ellittiche per le quali, in assenza di particolari limitazioni, esattamente come per le polari, si ha $\theta \in [0, 2\pi) $[/quote]
Hai ragione, errore mio. Il fatto è che l'esempio con cui avevo iniziato aveva come dominio una circonferenza, e mi sono scordato di correggere.
In ogni caso, grazie a entrambi. Che l'insieme fosse quello per definizione mi era chiaro, speravo solo (più che altro per casi meno amichevoli, con insiemi stranamente tagliati... che però ora che ci penso perdono simmetria e dunque non si risolverebbero con le polari/ellittiche...) che ci fosse anche un modo per ricavare matematicamente i nuovi estremi, così come si farebbe con un integrale per sostituzione.
Per fare un esempio, se avessi $D={(x,y), x^2+y^2<1, x^2+y^2<2x, y>0}$, di "nascosto" c'è il primo quadrante, visto che $y>0$ e $2x>y^2->x>0$. Geometricamente è l'intersezione di due circonferenze centrate sull'asse x, ma se volessi ricavare modulo e angoli "senza conti"?
Ancora grazie a tutti e due.
"Silence":
"senza conti"
Beh, senza conti è impossibile...
$ D = \{(x, y) \in \RR^2 : x^2 + y^2 < 1, x^2 + y^2 < 2x, y > 0 \}$
Passando, qui sì, in coordinate polari si ha:
$ \{(x^2 + y^2 < 1),(x^2 + y^2 < 2x),(y > 0):} \implies \{(\rho^2 < 1),(\rho^2 < 2\rho cos\theta),(\rho sin\theta > 0):} \implies \{(0 < \rho < 1),(0 < \rho < 2 cos\theta),(sin\theta > 0):} \implies ... $
Perfetto, come immaginavo allora (anche se non così chiaramente... 
), grazie mille!
), grazie mille!
Scusate, recupero un istante questa conversazione perchè mi sono imbattuto in un altro esercizio molto simile, che ha soluzione (ma non spiegazione), e non capisco come ci sia arrivato. Prendiamo per comodità il sistema di cui sopra:
Ora, evidentemente sbagliando, io presupponevo che quelle tre condizioni dovessero essere valide contemporaneamente, quindi ero andato avanti osservando che l'angolo massimo doveva essere $theta_(MAX)=pi/3$, così che $2costheta=1$, e siccome la terza condizione implica $0
$Omega'_1={(rho, theta), 0
Sicuramente sono io che non vedo il punto della questione, per cui mi sarebbe molto utile una spiegazione in più.
Grazie!
"pilloeffe":
Passando, qui sì, in coordinate polari si ha:
$ \{(x^2 + y^2 < 1),(x^2 + y^2 < 2x),(y > 0):} \implies \{(\rho^2 < 1),(\rho^2 < 2\rho cos\theta),(\rho sin\theta > 0):} \implies \{(0 < \rho < 1),(0 < \rho < 2 cos\theta),(sin\theta > 0):} \implies ... $
Ora, evidentemente sbagliando, io presupponevo che quelle tre condizioni dovessero essere valide contemporaneamente, quindi ero andato avanti osservando che l'angolo massimo doveva essere $theta_(MAX)=pi/3$, così che $2costheta=1$, e siccome la terza condizione implica $0
$Omega'_1={(rho, theta), 0
Sicuramente sono io che non vedo il punto della questione, per cui mi sarebbe molto utile una spiegazione in più.
Grazie!
Discute il minimo tra $2 \cos \theta$ e $1$, in quanto hai su $\rho$ una doppia limitazione dall'alto; pertanto ci saranno dei valori di $\theta$ per cui è $\rho \leq 1$ e dei valori di $\theta$ per cui è $\rho \leq 2 \cos \theta$ e quindi al variare di $\theta$ sarà valida l'una o l'altra.
Dunque avrai un'unione di due insiemi e perciò sommerai gli integrali estesi ai rispettivi intervalli su $\theta$.
Dunque avrai un'unione di due insiemi e perciò sommerai gli integrali estesi ai rispettivi intervalli su $\theta$.
Infatti ha ragione Mephlip.
Proprio recentemente è stato scritto da TeM questo post sulla questione.
Proprio recentemente è stato scritto da TeM questo post sulla questione.
Perfetto, la spiegazione mi ha chiarito le idee e l'esempio ha impacchettato tutto a meraviglia.
Ne approfitto anche per farvi tanti auguri, ancora grazie!
Ne approfitto anche per farvi tanti auguri, ancora grazie!
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