Cambiamento di variabile
Ciao, qualcuno puo spiegarmi come si cambia la variabile in un integrale definito?
io ho trovato il seguente esempio, dove nn viene spiegato pero come si procede in generale...
$int_{a}^{b}f(x)dx$ ,
$dx=(b-a)/2dt$
$int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)/2int_{-1}^{1}f((b-a)/2t+(a+b)/2)dt$
grazie ciao!
io ho trovato il seguente esempio, dove nn viene spiegato pero come si procede in generale...
$int_{a}^{b}f(x)dx$ ,
$dx=(b-a)/2dt$
$int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)/2int_{-1}^{1}f((b-a)/2t+(a+b)/2)dt$
grazie ciao!
Risposte
Evidentemente la sostituzione e':
(1) $x=(b-a)/2t+(b+a)/2$
Per x=a si ha:
$a=(b-a)/2t+(b+a)/2$ che risolta rispetto a t restituisce t=-1
Per x=b si ha:
$b=(b-a)/2t+(b+a)/2$ che risolta rispetto a t restituisce t=+1
Inoltre differenziando la (1) risulta:
$dx=(b-a)/2dt$
Adesso basta sostituire in $int_a^bf(x)dx$ per avere il risultato che si cerca.
karl
(1) $x=(b-a)/2t+(b+a)/2$
Per x=a si ha:
$a=(b-a)/2t+(b+a)/2$ che risolta rispetto a t restituisce t=-1
Per x=b si ha:
$b=(b-a)/2t+(b+a)/2$ che risolta rispetto a t restituisce t=+1
Inoltre differenziando la (1) risulta:
$dx=(b-a)/2dt$
Adesso basta sostituire in $int_a^bf(x)dx$ per avere il risultato che si cerca.
karl
qualcuno puo farmi altri esempi?io nn sarei capace a capire che per avere 1,-1 devo prendere $x=(b-a)/2t+(b+a)/2$...come faccio a capirlo?
"richard84":
qualcuno puo farmi altri esempi?io nn sarei capace a capire che per avere 1,-1 devo prendere $x=(b-a)/2t+(b+a)/2$...come faccio a capirlo?
Di solito il cambiamento di variabile non si fa per avere determinati estremi di integrazione ma per mettere la funzione integranda in una forma che sia piú facilmente integrabile.
Per quel che ne so io non ci sono regole generali per capire quale sostituzione fare (anche in questo risiede l'abilità nel risolvere gli integrali...
) tuttavia i libri di analisi in genere forniscono dei suggerimenti sulle sostituzioni piú utili per determinate classi di funzioni integrande (quelle con frazioni trigonometriche, con esponenziali, con radici, ecc.). Prova a dare un'occhiata al tuo libro nel capitolo degli integrali e vedrai che troverai quel che cerchi. 
"richard84":
qualcuno puo farmi altri esempi?io nn sarei capace a capire che per avere 1,-1 devo prendere $x=(b-a)/2t+(b+a)/2$...come faccio a capirlo?
Il procedimento è quello postato da karl: devi ricondurti alla formula di quadratura in [a,b] a partire da quella che conosci in [-1,1], tramite una trasformazione lineare, pertanto la trasformazione non può che essere quella.
grazie...
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