Cambiamento di indice in serie assolutamente convergenti
Salve a tutti. Ho il seguente problema.
Siano $\sum_{m=0}^(+infty) a_m$ e $\sum_{k=0}^(+infty) b_k$ due serie assolutamente convergenti. Il libro da cui sto studiando afferma che il cambiamento di indice $m = n-k$ permette di dimostrare la seguente uguaglianza:
$ \sum_{m=0}^(+infty) \sum_{k=0}^(+infty) a_m b_k = \sum_{n=0}^(+infty) \sum_{k=0}^(n) a_(n-k) b_k $
L'unica indicazione che viene data è che essendo $m$ non negativo, $k$ non potrà mai superare $n$.
Poi afferma che in modo analogo effettuando il cambiamento di indice $m = n-2k$ si dimostra che:
$ \sum_{m=0}^(+infty) \sum_{k=0}^(+infty) a_m b_k = \sum_{n=0}^(+infty) \sum_{k=0}^([n/2]) a_(n-2k) b_k $
Non riesco a capire come dimostrare queste due uguaglianze. Grazie a tutti per l'attenzione.
EDIT:
credo che la dimostrazione di queste due uguaglianze sia correlata al prodotto di Cauchy.
Siano $\sum_{m=0}^(+infty) a_m$ e $\sum_{k=0}^(+infty) b_k$ due serie assolutamente convergenti. Il libro da cui sto studiando afferma che il cambiamento di indice $m = n-k$ permette di dimostrare la seguente uguaglianza:
$ \sum_{m=0}^(+infty) \sum_{k=0}^(+infty) a_m b_k = \sum_{n=0}^(+infty) \sum_{k=0}^(n) a_(n-k) b_k $
L'unica indicazione che viene data è che essendo $m$ non negativo, $k$ non potrà mai superare $n$.
Poi afferma che in modo analogo effettuando il cambiamento di indice $m = n-2k$ si dimostra che:
$ \sum_{m=0}^(+infty) \sum_{k=0}^(+infty) a_m b_k = \sum_{n=0}^(+infty) \sum_{k=0}^([n/2]) a_(n-2k) b_k $
Non riesco a capire come dimostrare queste due uguaglianze. Grazie a tutti per l'attenzione.
EDIT:
credo che la dimostrazione di queste due uguaglianze sia correlata al prodotto di Cauchy.
Risposte
https://arxiv.org/abs/math/9205211
Segui l'esempio di Knuth, equazione (1.11). Parti da
\[
\sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^j a_{j-k}b_k.\]
Ora devi cambiare l'ordine di sommazione;
\[
\sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^j a_{j-k}b_k= \sum_{k=0}^\infty \sum_{j=k}^\infty a_{j-k}b_k.\]
Il membro destro si può riscrivere come
\[
\sum_{k=0}^\infty b_k\sum_{j=k}^\infty a_{j-k}=\sum_{k=0}^\infty b_k \sum_{m=0}^\infty a_m.\]
Segui l'esempio di Knuth, equazione (1.11). Parti da
\[
\sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^j a_{j-k}b_k.\]
Ora devi cambiare l'ordine di sommazione;
\[
\sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^j a_{j-k}b_k= \sum_{k=0}^\infty \sum_{j=k}^\infty a_{j-k}b_k.\]
Il membro destro si può riscrivere come
\[
\sum_{k=0}^\infty b_k\sum_{j=k}^\infty a_{j-k}=\sum_{k=0}^\infty b_k \sum_{m=0}^\infty a_m.\]
Vediamo se ho capito:
Facendo come nell'esempio di Knuth equazione (1.11)
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{n} a_{n-k} b_k = \sum_{n,k} a_{n-k} b_k [n \geq 0][0 \leq k \leq n] = \sum_{n,k} a_{n-k} b_k [0 \leq k \leq n] = \sum_{n,k} a_{n-k} b_k [k \geq 0][n \geq k] = \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty} a_{n-k} b_k[/tex]
Sia [tex]m := n - k[/tex]
[tex]n = k \Rightarrow n-k=0 \Rightarrow m=0[/tex]
[tex]\sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty} a_{n-k} b_k = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \sum_{n=k}^{+\infty} a_{n-k} = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \sum_{m = 0}^{+\infty} a_{m}[/tex]
Poi il seguente ultimo passaggio è giustificato dall'assoluta convergenza delle due serie?
[tex]\sum_{k=0}^{+\infty} b_k \sum_{m = 0}^{+\infty} a_{m} = \sum_{m=0}^{+\infty} a_m \sum_{k = 0}^{+\infty} b_{k} = \sum_{m=0}^{+\infty} \sum_{k = 0}^{+\infty}a_m b_{k}[/tex]
Facendo come nell'esempio di Knuth equazione (1.11)
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{n} a_{n-k} b_k = \sum_{n,k} a_{n-k} b_k [n \geq 0][0 \leq k \leq n] = \sum_{n,k} a_{n-k} b_k [0 \leq k \leq n] = \sum_{n,k} a_{n-k} b_k [k \geq 0][n \geq k] = \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty} a_{n-k} b_k[/tex]
Sia [tex]m := n - k[/tex]
[tex]n = k \Rightarrow n-k=0 \Rightarrow m=0[/tex]
[tex]\sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty} a_{n-k} b_k = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \sum_{n=k}^{+\infty} a_{n-k} = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \sum_{m = 0}^{+\infty} a_{m}[/tex]
Poi il seguente ultimo passaggio è giustificato dall'assoluta convergenza delle due serie?
[tex]\sum_{k=0}^{+\infty} b_k \sum_{m = 0}^{+\infty} a_{m} = \sum_{m=0}^{+\infty} a_m \sum_{k = 0}^{+\infty} b_{k} = \sum_{m=0}^{+\infty} \sum_{k = 0}^{+\infty}a_m b_{k}[/tex]
Si, esatto. L'assoluta convergenza ti permette di manipolare tutte le serie senza preoccuparti troppo della convergenza. Altrimenti dovresti sostituire a tutti gli \(\infty\) un parametro \(N\) da mandare a infinito alla fine.
Ok.
Adesso devo dimostrare la seconda uguaglianza ma immagino che sia lo stesso procedimento con la differenza che parto da [tex]\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{[n/2]} a_{n-2k} b_k[/tex] e la sostituzione è [tex]m:=n-2k[/tex]
Intanto ti ringrazio moltissimo, la tua risposta è stata illuminante, la convenzione di Iverson è davvero semplice e potente.
Adesso devo dimostrare la seconda uguaglianza ma immagino che sia lo stesso procedimento con la differenza che parto da [tex]\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{[n/2]} a_{n-2k} b_k[/tex] e la sostituzione è [tex]m:=n-2k[/tex]
Intanto ti ringrazio moltissimo, la tua risposta è stata illuminante, la convenzione di Iverson è davvero semplice e potente.
Il punto è cambiare l'ordine di sommazione. Il fattore \(a_{n-2k}\) dipende sia da \(n\) che da \(k\), quindi c'è poco da fare, ma il fattore \(b_k\) non dipende da \(n\). Se trovi il modo di sommare prima in \(n\) e poi in \(k\), lo puoi portare fuori dalla prima sommatoria e così sfruttare questa invarianza.
Dovrebbe essere così, molto simile al precedente:
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} a_{n-2k} b_k = \sum_{n,k} a_{n-2k} b_k [n \geq 0] \left [0 \leq k \leq \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right] = \sum_{n,k} a_{n-2k} b_k \left [0 \leq k \leq \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right] = \sum_{n,k} a_{n-2k} b_k [k \geq 0][n \geq 2k] = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=2k}^{\infty} a_{n-2k} b_k[/tex]
Sia [tex]m := n - 2k[/tex]
[tex]n = 2k \iff n-2k=0 \iff m=0[/tex]
[tex]\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=2k}^{\infty} a_{n-2k} b_k = \sum_{k=0}^{\infty} b_k \sum_{n=2k}^{\infty} a_{n-2k} = \sum_{k=0}^{\infty} b_k \sum_{m = 0}^{\infty} a_{m}[/tex]
Infine (questa parte è identica):
[tex]\sum_{k=0}^{\infty} b_k \sum_{m = 0}^{\infty} a_{m} = \sum_{m=0}^{\infty} a_m \sum_{k = 0}^{\infty} b_{k} = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{\infty}a_m b_{k}[/tex]
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} a_{n-2k} b_k = \sum_{n,k} a_{n-2k} b_k [n \geq 0] \left [0 \leq k \leq \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right] = \sum_{n,k} a_{n-2k} b_k \left [0 \leq k \leq \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right] = \sum_{n,k} a_{n-2k} b_k [k \geq 0][n \geq 2k] = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=2k}^{\infty} a_{n-2k} b_k[/tex]
Sia [tex]m := n - 2k[/tex]
[tex]n = 2k \iff n-2k=0 \iff m=0[/tex]
[tex]\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=2k}^{\infty} a_{n-2k} b_k = \sum_{k=0}^{\infty} b_k \sum_{n=2k}^{\infty} a_{n-2k} = \sum_{k=0}^{\infty} b_k \sum_{m = 0}^{\infty} a_{m}[/tex]
Infine (questa parte è identica):
[tex]\sum_{k=0}^{\infty} b_k \sum_{m = 0}^{\infty} a_{m} = \sum_{m=0}^{\infty} a_m \sum_{k = 0}^{\infty} b_{k} = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{\infty}a_m b_{k}[/tex]
Tutto corretto. Mi fa piacere che ti sia piaciuta questa notazione. In questo caso semplifica tanto la vita, come hai giustamente osservato, perché
\[
[k\le \lfloor \tfrac n 2 \rfloor ]= [2k\le n].\]
Scritto così, è piuttosto facile. Ma scritto così
\[
\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{\lfloor \tfrac n 2 \rfloor} = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=2k}^\infty\]
è molto più misterioso.
[ot]Don Knuth è un personaggio interessante. Motivato da questo topic sono andato un po' sulla sua home page:
https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/index.html[/ot]
\[
[k\le \lfloor \tfrac n 2 \rfloor ]= [2k\le n].\]
Scritto così, è piuttosto facile. Ma scritto così
\[
\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{\lfloor \tfrac n 2 \rfloor} = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=2k}^\infty\]
è molto più misterioso.
[ot]Don Knuth è un personaggio interessante. Motivato da questo topic sono andato un po' sulla sua home page:
https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/index.html[/ot]
Tutto corretto.
Perfetto!
Mi fa piacere che ti sia piaciuta questa notazione.
Si, mi ha aperto un mondo.
[ot]Credo che in merito a questa notazione sia pertinente questa citazione di Klein:
Non si devono sottovalutare i vantaggi che un formalismo ben adattato reca alle ricerche ulteriori, in quanto, per così dire, riesce ad andare più in là del pensiero (Klein)[/ot]
Ti ringrazio davvero, avevo aperto questo topic perché non riuscivo a dimostrare quelle due uguaglianze e adesso oltre averle dimostrate ho appreso una cosa nuova che potrà tornarmi utile moltissime volte.
[ot]Hai ragione, Knuth è davvero interessante, tra l'altro è il creatore di TeX, non lo sapevo.
Il prossimo anno al secondo anno della magistrale in Ingegneria Informatica studierò Informatica teorica, che è proprio il suo campo
[/ot]
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