Cambiamento di coordinate negli integrali doppi

[claudia.bandini4]

salve a tutti, sto preparando l'esame di matematica due e non riesco a capire i passaggi per effettuare il cambiamento di coordinate negli integrali doppi, e passare a coordinate polari.
generalmente l'angono theta riesco a capirlo dal grafico, ma che passaggi devo fare per calcolarlo?

per rendere la spiegazione più semplice vi propongo un esempio.

$D= \{ x,y \in RR^2 | x^2+y^2+2x < 0 ; x^2+y^2>1 \}$

so che: $ { ( x=rhocosTheta ),( y= rhosenTheta ):} $

l'angolo $theta$ io lo calcolo mettendo a sistema le due circonferenze, ma $rho$ proprio non capisco come trovarlo?

grazie

[number22]

In questo caso hai due circonferenze che si intersecano, una è centrata nell'origine, l'altra nel punto (-1,0). Se fai la sostituzione che hai detto tu nelle equazioni del dominio ti viene:

Prima equazione:
\(\displaystyle \rho^2+2\rho cos \theta<0 \)
\(\displaystyle \rho (\rho + 2 cos \theta)<0 \)
poichè rho è positivo perchè è una distanza hai necessariamente:
\(\displaystyle \rho<-2cos\theta \)

Seconda equazione:
\(\displaystyle \rho^2>1 \)
per lo stesso motivo di prima scarti una soluzione e ottieni:
\(\displaystyle \rho>1 \)

L'angolo lo scegli dal disegno, in questo caso io sceglierei:
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3\pi}{2} \)
il che è congruente con il fatto che:
\(\displaystyle \rho < - 2 cos \theta \)
infatti dovendo essere \rho positivo, il coseno sarà negativo e tutto funziona

[floppyes]

Ciao

Hai due circonferenze.. la prima avente centro in $(-1,0)$ e raggio uguale a $1$, la seconda avente centro in $(0,0)$ e raggio uguale a $1$.

Quindi l'angolo $theta$ varia tra $pi/3
Con un disegno diventa tutto più semplice

Ciao

[number22]

Accidenti hai ragione! Mi scuso, nella fretta avevo disegnato male!