Cambiamento coordinate polari quando traslo una circonferenza.
Ciao, sto svolgendo il seguente integrale doppio:
\(\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dxdy\)
Con \(\displaystyle D = x^{2}+y^{2} -2x \leq 0 \)
Il dominio è una circonferenza di centro C(1,0) e raggio R = 1. Ho provato a svolgere l'integrale in coordinate polari traslate , e quindi:
\(\displaystyle \begin{cases} x = x_{c} + \rho \cos(\theta) \\ y = y_{c} + \rho \sin(\theta) \end{cases} \)
Dove \(\displaystyle x_{c} , y_{c} \) rappresentano rispettivamente la x e la y del centro di questa circonferenza.
Andando a sostituire:
\(\displaystyle \begin{cases} x = 1 + \rho \cos(\theta) \\ y = \rho \sin(\theta) \end{cases} \)
\(\displaystyle \theta \in[0,2\pi], \rho \in [0,1] \) Per trovare \(\displaystyle \rho \) ho sostituito le coordinate polari all'equazione della circonferenza ( dominio).
Però svolgendo i calcoli, viene un integrale piuttosto difficile. Quindi ho pensato di traslare questa circonferenza nell'origine degli assi x e y e riprovare. In questo caso le coordinate polari diventerebbero:
\(\displaystyle \begin{cases} x = \rho \cos(\theta) \\ y = \rho \sin(\theta) \end{cases} \)
con \(\displaystyle \theta \in[0,2\pi], \rho \in [0,2\cos(\theta)]\)
Ora la funzione risulta molto più semplice, ma il risultato non viene. Dove sbaglio? Forse non so traslare bene, o non ho capito come devo traslare.
So che \(\displaystyle \theta \) è l'angolo che descrive il dominio (in questo caso una circonferenza quindi \(\displaystyle \theta \) varia tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2\pi \)), mentre \(\displaystyle \rho \) è la distanza dall'origine degli assi cartesiani e la calcolo come ho scritto prima. Per \(\displaystyle \theta \) non ho altro modo che calcolarla guardando il disegno del dominio che faccio ogni volta.
Grazie della disponibilità.
\(\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dxdy\)
Con \(\displaystyle D = x^{2}+y^{2} -2x \leq 0 \)
Il dominio è una circonferenza di centro C(1,0) e raggio R = 1. Ho provato a svolgere l'integrale in coordinate polari traslate , e quindi:
\(\displaystyle \begin{cases} x = x_{c} + \rho \cos(\theta) \\ y = y_{c} + \rho \sin(\theta) \end{cases} \)
Dove \(\displaystyle x_{c} , y_{c} \) rappresentano rispettivamente la x e la y del centro di questa circonferenza.
Andando a sostituire:
\(\displaystyle \begin{cases} x = 1 + \rho \cos(\theta) \\ y = \rho \sin(\theta) \end{cases} \)
\(\displaystyle \theta \in[0,2\pi], \rho \in [0,1] \) Per trovare \(\displaystyle \rho \) ho sostituito le coordinate polari all'equazione della circonferenza ( dominio).
Però svolgendo i calcoli, viene un integrale piuttosto difficile. Quindi ho pensato di traslare questa circonferenza nell'origine degli assi x e y e riprovare. In questo caso le coordinate polari diventerebbero:
\(\displaystyle \begin{cases} x = \rho \cos(\theta) \\ y = \rho \sin(\theta) \end{cases} \)
con \(\displaystyle \theta \in[0,2\pi], \rho \in [0,2\cos(\theta)]\)
Ora la funzione risulta molto più semplice, ma il risultato non viene. Dove sbaglio? Forse non so traslare bene, o non ho capito come devo traslare.
So che \(\displaystyle \theta \) è l'angolo che descrive il dominio (in questo caso una circonferenza quindi \(\displaystyle \theta \) varia tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2\pi \)), mentre \(\displaystyle \rho \) è la distanza dall'origine degli assi cartesiani e la calcolo come ho scritto prima. Per \(\displaystyle \theta \) non ho altro modo che calcolarla guardando il disegno del dominio che faccio ogni volta.
Grazie della disponibilità.
Risposte
Se ho capito bene tu vuoi usare le coordinate polari centrate nell'origine, il dominio ti diventa $ rho^2-2rhocostheta<=0 $ valida però se imponi $ rho>=0 $ solamente se $ 0<=rho<=2costheta $ quindi anche $ 2costheta>=0 $ che ti da $ theta in [-pi/2,pi/2] $
Proseguendo ti ritrovi a calcolare $ int_(0)^(pi/2) cos^2theta d\theta $
Forse ho sbagliato ma a occhio mi sembra sensato.
Proseguendo ti ritrovi a calcolare $ int_(0)^(pi/2) cos^2theta d\theta $
Forse ho sbagliato ma a occhio mi sembra sensato.
"Escher":
Quindi ho pensato di traslare questa circonferenza nell'origine degli assi x e y e riprovare. In questo caso le coordinate polari diventerebbero:
\(\displaystyle \begin{cases} x = \rho \cos(\theta) \\ y = \rho \sin(\theta) \end{cases} \)
con \(\displaystyle \theta \in[0,2\pi], \rho \in [0,2\cos(\theta)]\)
Ora la funzione risulta molto più semplice, ma il risultato non viene. Dove sbaglio? Forse non so traslare bene, o non ho capito come devo traslare.
Ciao escher
il problema sta nella scelta dell'intervallo di $\theta$. In effetti su una circonferenza traslata, puoi vederlo anche graficamente, l'angolo non può variare come hai scritto tu
$ \theta \in[0,2\pi]$
in quanto esplicitando la relazione del dominio in coordinate polari ottieni:
$\rho <=2\cos(\theta)$
ma deve in ogni caso valere:
$\rho >=0$
quindi la precedente diventa:
$0<=\rho <=2\cos(\theta)$
e questo succede quando $cos(\theta)>=0$, cioè nel 1° e 4° quadrante:
$\theta in [-pi/2,pi/2]$
ora puoi concludere
Bye
Grazie mille delle risposte, ho capito! Pensavo che \(\displaystyle \theta \) non sarebbe stata modificata. L'intervallo che avete scritto \(\displaystyle [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \) è corretto. Dopo penso di riuscire ad andare avanti da solo.
Grazie ancora, mi era sfuggita la condizione \(\displaystyle \rho \geq 0\)
Grazie ancora, mi era sfuggita la condizione \(\displaystyle \rho \geq 0\)
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