Cambiamento ammissibile di variabile
Salve ragazzi, non riesco a capire del perché se \( g:[a,b]\rightarrow [c,d] \) è un cambiamento ammissibile di variabile per due curve, lo è anche la funzione inversa di \( g \). Ho capito che in un certo senso "gode delle stesse proprietà di \(g\)" ovvero che è \( C{}^1 \), invertibile e monotona.
Per precisare meglio, siano due curve:
\( \varphi : [a,b]\rightarrow R^n \)
\( \psi : [c,d]\rightarrow R^n \)
allora ogni funzione \( g:[a,b]\rightarrow [c,d] \) tale che \( g\in C^1 \) \( \frac{dg(t)}{dt}\neq 0 \ \forall t\in [a,b] \) e \( \varphi (t)=\psi (g(t)) \) è un cambiamento di variabile.
Non capisco del perché, sapendo che la funzione inversa di g è continua, monotona e invertibile, valga questo \( \psi (s)=\varphi (g^{-1}(s)) \)
Per precisare meglio, siano due curve:
\( \varphi : [a,b]\rightarrow R^n \)
\( \psi : [c,d]\rightarrow R^n \)
allora ogni funzione \( g:[a,b]\rightarrow [c,d] \) tale che \( g\in C^1 \) \( \frac{dg(t)}{dt}\neq 0 \ \forall t\in [a,b] \) e \( \varphi (t)=\psi (g(t)) \) è un cambiamento di variabile.
Non capisco del perché, sapendo che la funzione inversa di g è continua, monotona e invertibile, valga questo \( \psi (s)=\varphi (g^{-1}(s)) \)
Risposte
L'invertibilità di $g$ ti permette di scrivere $t = g^{-1}(s)$, quindi $\varphi ( t ) = \psi (g(t))$ diventa $\varphi(g^{-1}(s)) = \psi (g(g^{-1}(s))) = \psi (s)$.
"Seneca":
L'invertibilità di $g$ ti permette di scrivere $t = g^{-1}(s)$, quindi $\varphi ( t ) = \psi (g(t))$ diventa $\varphi(g^{-1}(s)) = \psi (g(g^{-1}(s))) = \psi (s)$.
Ma quindi, se pensiamo alle funzioni in una variabile, e partendo dalla funziona $ f$ costruisco mediante la composizione di $f$ con$g$ una nuova funzione $h$, posso ottenere sempre $f$ mediante la composizione di $h$ e l'inversa di $g$??
Poi per vedere se ho capito:
siano 3 curve
\( \varphi : [a,b]\rightarrow R^n \)
\( \psi : [c,d]\rightarrow R^n \)
\( \xi : [e,f]\rightarrow R^n \)
Se le tre curve si trovano in questi rapporti di equivalenza (equivalenza che è data dall'esistenza di un cambiamento ammissibile di parametro tra le due):
\(\varphi \sim \psi\)
\(\psi \sim \xi \)
Allora
\(\varphi \sim \xi\).
E posso dimostrarlo così (sempre se ho capito bene):
\(\varphi \sim \psi\) \(\Leftrightarrow \exists g:[a,b]\rightarrow [c,d]\) \( \varphi (t)=\psi (g(t)) \) e \( \psi (s)=\varphi (g^{-1}(s)) \) (tralascio le condizioni sul cambiamento ammissibile di parametro $g$ e $h$, ovviamente ci mettiamo in quelle condizioni)
\(\psi \sim \xi \) \( \Leftrightarrow \exists h:[c,d]\rightarrow [e,f] \) tale che \( \psi (s)=\xi (h(s)) \) e \( \xi (r)=\psi (h^{-1}(r)) \)
Allora \( \varphi (g^{-1}(s))=\xi (h(s)) \) siccome $h$ è invertibile allora posso scrivere $s=h^-1(r)$ e quindi \( \varphi (g^{-1}(h^{-1}(r)))=\xi (h(h^{-1}(r))) \) ovvero \( \varphi (g^{-1}(h^{-1}(r)))=\xi (r) \) e quindi ho trovato una funzione
\( f^{-1}:[e,f]\rightarrow [a,b] \) e allo stesso modo posso dire che $f$ è un cambiamento ammissibile di parametro per \( \varphi \) e \( \xi \).
PS: ho omesso alcune cosa ma credo che questo sia "il succo". giusto per vedere se ho capito bene.
PPS: Tutto questo è partito perché volevo dimostrare la relazione di equivalenza tra curve equivalenti, e questa qui che ho scritto dovrebbe essere la proprietà transitiva, quello sopra chiesta la proprietà simmetrica, e quella riflessiva è immediata. Corretto?
up
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Beh, sì... Solo che fai troppo casino. 
Se \(\phi \sim \psi \sim \xi\) esistono due applicazioni continue e strettamente crescenti tali che $\psi =\phi \circ f$ e $\xi =\psi \circ g$; dunque $\xi =\phi \circ (f\circ g)$, con $f\circ g$ continua e strettamente crescente, perciò \(\phi \sim \xi\).
Se \(\phi \sim \psi \sim \xi\) esistono due applicazioni continue e strettamente crescenti tali che $\psi =\phi \circ f$ e $\xi =\psi \circ g$; dunque $\xi =\phi \circ (f\circ g)$, con $f\circ g$ continua e strettamente crescente, perciò \(\phi \sim \xi\).
"gugo82":
Beh, sì... Solo che fai troppo casino.
Se \(\phi \sim \psi \sim \xi\) esistono due applicazioni continue e strettamente crescenti tali che $\psi =\phi \circ f$ e $\xi =\psi \circ g$; dunque $\xi =\phi \circ (f\circ g)$, con $f\circ g$ continua e strettamente crescente, perciò \(\phi \sim \xi\).
grazie mille però perdonami non capisco il passaggio evidenziato, perchè possiamo affermarlo? Credo mi sfugga qualcosa
La composizione di applicazioni è associativa, quindi \(\xi = \psi \circ g = (\phi \circ f)\circ g =\phi \circ(f\circ g)\); inoltre, la composizione di funzioni continue e strettamente crescenti è continua e strettamente crescente. 
"gugo82":
La composizione di applicazioni è associativa, quindi \(\xi = \psi \circ g = (\phi \circ f)\circ g =\phi \circ(f\circ g)\); inoltre, la composizione di funzioni continue e strettamente crescenti è continua e strettamente crescente.
Grazie mille !
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