Cambi di coordinate per verificare uguaglianza insiemi
Salve a tutti, avrei un quesito: Supponiamo di avere un sottinsieme dello spazio reale euclideo $M=\{(x,y,z)|h(x,y,z)=0\}$ e supponiamo che si riesca a trovare $f:S^1\timesS^1\to\mathbf{R}^3$, $(e^{i\theta},e^{i\phi})\to (x(\theta,\phi),y(\theta,phi),z(theta,phi))$ tale che $h(x(\theta,\phi),y(\theta,phi),z(theta,phi))\equiv 0$,
allora posso dire che:
$M$ è uguale a $f(S^1\timesS^1)$,
oppure che $f(S^1\timesS^1)$ è contenuto su $M$?
La risposta cambia se so che lo Jacobiano di $(\theta,\phi)\to (x(\theta,\phi),y(\theta,phi),z(theta,phi))$ è diverso da zero?
Se può aiutarvi a capire a cosa mi serve tutto ciò, devo dimostrare che l'immagine di $S^1\timesS^1$ è $M$.
allora posso dire che:
$M$ è uguale a $f(S^1\timesS^1)$,
oppure che $f(S^1\timesS^1)$ è contenuto su $M$?
La risposta cambia se so che lo Jacobiano di $(\theta,\phi)\to (x(\theta,\phi),y(\theta,phi),z(theta,phi))$ è diverso da zero?
Se può aiutarvi a capire a cosa mi serve tutto ciò, devo dimostrare che l'immagine di $S^1\timesS^1$ è $M$.
Risposte
Chiaramente se $h$ è qualsiasi $M$ è un sottospazio orribile di $RR^3$. Anche supponendo che $h$ sia liscia però in generale si può solo dire che l'immagine di $f$ è contenuta in $M$ (per esempio quando $h$ parametrizza un toro ed $f(\theta,\varphi)=(e^{i\theta_0}, e?{i\varphi})$ becchi solo una circonferenza in esso).
Se poi $J_f$ non cade mai di rango, e assumi che $h$ sia almeno $C^1$, quello che succede è che derivando con la regola della catena $h(f(\theta,\varphi))=0$ si ha...
Se poi $J_f$ non cade mai di rango, e assumi che $h$ sia almeno $C^1$, quello che succede è che derivando con la regola della catena $h(f(\theta,\varphi))=0$ si ha...
"materia":La seconda che hai detto (cit. Corrado Guzzanti)
$M$ è uguale a $f(S^1\timesS^1)$,
oppure che $f(S^1\timesS^1)$ è contenuto su $M$?
Non c'entra nulla lo Jacobiano. Non hai (ancora) scritto nessun integrale.
La risposta cambia se so che lo Jacobiano di $(\theta,\phi)\to (x(\theta,\phi),y(\theta,phi),z(theta,phi))$ è diverso da zero?
Se può aiutarvi a capire a cosa mi serve tutto ciò, devo dimostrare che l'immagine di $S^1\timesS^1$ è $M$.
ok, come pensavo... Come potrei fare a dimostrare l'altra inclusione? Comunque l'applicazione manda $(e^{i\theta},e^{i\phi})\to((a+bcos\theta)cos\phi,(a+bcos\theta)sin\phi,bsin\theta)$ non riesco a dimostrare che l'immagine (che è quella che conosciamo come parametrizzazione del toro immerso in $\mathbf{R}^3$) sia uguale all'insieme $M=\{(x,y,z)|(x^2+y^2+z^2-a^2-b^2)^2+4a^2z^2=4a^2b^2\}$.
PS lo jacobiano intendevo usarlo per lo studio dell'invertibilità, ossia che fissati $x,y,z$ sarei riuscito a trovare dei $\theta(x,y,z)$ e $\phi(x,y,z)$, ma questo discorso vale solo localmente, e non globalmente
PS lo jacobiano intendevo usarlo per lo studio dell'invertibilità, ossia che fissati $x,y,z$ sarei riuscito a trovare dei $\theta(x,y,z)$ e $\phi(x,y,z)$, ma questo discorso vale solo localmente, e non globalmente
Lo jacobiano non ti aiuta e purtroppo dimostrare la doppia inclusione è un po' un casino. Devi vedere su qualche libro perché è un fatto classico ed è stato scritto parecchie volte di sicuro, solo che io non so dirti esattamente dove. È più una domanda di geometria differenziale che di analisi.
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