Calcolo volumi mediante integrali tripli

[Atze1]

Ciao a tutti!
Sono alle prese con il calcolo dei volumi mediante integrali tripli, e sto avendo qualche problemino...ad esempio:
calcolare il volume del solido compreso tra il paraboloide di equazione $2z-x^2-y^2=0$ e la sfera di equazione $x^2+y^2+z^2=3$
Dunque, io procedo determinando il dominio in cui integrare la z, che in questo caso dovrebbe essere $x^2+y^2-2 $\int int dxdy \int_(x^2+y^2-2)^(sqrt(3-x^2-y^2)) dz$
Il mio problema è riuscire a determinare il dominio nel quale integrare l'integrale doppio...ho pochi esempi a riguardo e non molto chiari...potete darmi gentilmente una mano??grazie mille!!

[stefano_89]

apparte il fatto che hai sbagliato ad esplicitare la $z$ dal paraboloide, infatti si ha: $z = (x^2 + y^2)/2$

Poi, per trovare le coordinate nel piano xy, devi trovare l' intersezione tra il paraboloide e la sfera. lo puoi fare mettendo in sistema le 2 equazioni e sostituindo la z, in modo che ti risulti un equazione in x e y.

[Atze1]

Ok fin qui c'ero, l'unica cosa è che la risoluzione del sistema poi mi da un equazione di quarto grado, che nel piano non dovrebbe rappresentarmi nulla, giusto?sto sbagliando io?o come devo procedere?
Grazie mille per l'aiuto!

[stefano_89]

ah si scusami, non avevo svolto il calcolo, in effetti è molto meglio se fai la somma in colonna membro a membro:

$2z + x^2 + y^2 = 0$
$z^2 + x^2 + y^2 = 3$

Sommando in colonna ti viene: $z^2 + 2z - 3 = 0$, quindi l' intersezione avviene per $z = 1$, che sostituito in una delle due eq. ti dà: $x^2 + y^2 = 1$ che è un facile dominio..

[Atze1]

ora è tutto più chiaro, grazie mille per l'aiuto!