Calcolo Volume, Princeton University Test (advanced calcolus)
Buongiorno,
Per tenermi in allenamento con Analisi due mi sono divertito a svolgere un test dell' università di Princeton abbastanza equivalente al nostro Analisi 2. Tutto liscio (più o meno, mi sono laureato in matematica 4 anni fa è ovvio che qualcosa uno si può dimenticare) fino ad arrivare al seguente problema:
Calcola il volume di $E={(x,y,z): x^2+y^2+z^2+xy+yz \leq 1}$
Ora chiaramente si tratta di calcolare $\int_E dx dy dz$.
Ho fatto quattro tentativi:
a) Coordinate polari. Chiaramente i termini quadratici si semplificano con $\rho^2$ ma i temini misti diventano un casino allucinante, e, most of all, non riesco a limitare $\rho$ perchè non ho nessun appiglio sul suo range.
2) Pensavo a coordinate cilindriche,ma si pone lo stesso problema di cui sopra.
3) ho notato che se noi consideriamo il piano $y=0$ quello che otteniamo è un cerchio e quindi se noi consideriamo $y=k \in R$ allora la sezione che otteniamo è un cerchio con raggio variabile se facciamo variare anche $k$. Ok, allora potrei "integrare il cerchio" e poi "integrarlo su "$y$" per ottenere il volume di $E$, ma ancora non riesco a limitare $y$.
4) Integrazione per fili o superfici. Sfortunatamente in $E$ non riesco a "isolare una variabile" proprio per colpa dei termini misti e quindi non mi sembra di poter rientrare nelle ipotesi delle integrazioni suddette.
NB. Ovviamente il solido è un elissoide, e certamente non mi interessano minimamente formule già pronte che calcolano volume, così come non mi interessano minimamente ragionamenti di simmetria e roba varia che calcolino l'integrale per vie diverse da quello di un integrale triplo.
Da matematico ovviamente mi è più che sufficiente l'impostazione del problema (=ricondursi agli integrali risolutivi "in una variabile" dopo aver usato Tonelli-Fubini.
Un enorme grazie di cuore a chi risponderà, ho dedicato tipo due sere ed è abbastanza frustrante non arrivarci.
Per tenermi in allenamento con Analisi due mi sono divertito a svolgere un test dell' università di Princeton abbastanza equivalente al nostro Analisi 2. Tutto liscio (più o meno, mi sono laureato in matematica 4 anni fa è ovvio che qualcosa uno si può dimenticare) fino ad arrivare al seguente problema:
Calcola il volume di $E={(x,y,z): x^2+y^2+z^2+xy+yz \leq 1}$
Ora chiaramente si tratta di calcolare $\int_E dx dy dz$.
Ho fatto quattro tentativi:
a) Coordinate polari. Chiaramente i termini quadratici si semplificano con $\rho^2$ ma i temini misti diventano un casino allucinante, e, most of all, non riesco a limitare $\rho$ perchè non ho nessun appiglio sul suo range.
2) Pensavo a coordinate cilindriche,ma si pone lo stesso problema di cui sopra.
3) ho notato che se noi consideriamo il piano $y=0$ quello che otteniamo è un cerchio e quindi se noi consideriamo $y=k \in R$ allora la sezione che otteniamo è un cerchio con raggio variabile se facciamo variare anche $k$. Ok, allora potrei "integrare il cerchio" e poi "integrarlo su "$y$" per ottenere il volume di $E$, ma ancora non riesco a limitare $y$.
4) Integrazione per fili o superfici. Sfortunatamente in $E$ non riesco a "isolare una variabile" proprio per colpa dei termini misti e quindi non mi sembra di poter rientrare nelle ipotesi delle integrazioni suddette.
NB. Ovviamente il solido è un elissoide, e certamente non mi interessano minimamente formule già pronte che calcolano volume, così come non mi interessano minimamente ragionamenti di simmetria e roba varia che calcolino l'integrale per vie diverse da quello di un integrale triplo.
Da matematico ovviamente mi è più che sufficiente l'impostazione del problema (=ricondursi agli integrali risolutivi "in una variabile" dopo aver usato Tonelli-Fubini.
Un enorme grazie di cuore a chi risponderà, ho dedicato tipo due sere ed è abbastanza frustrante non arrivarci.
Risposte
forse ti conviene ridurre in forma canonica l'ellissoide
Mm, avevo detto che metodi simili non mi interessano a meno che obv non siano l'unica strada percorribile... Comunque nessuna idea?
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