Calcolo volume generato dalla rotazione attorno ad un'asse
dato$ y=x^3 $ con $ 0<=x<=2$ con $ y=0 $ rispetto alla rotazione attorno ad$ x=2$
seguendo l'esempio riportato in questo sito:https://www.****.it/forum/analisi-1/43944-calcolo-del-volume-generato-dalla-rotazione-attorno-ad-un-asse-orizzontale-o-verticale.html
cambio sistema di riferimento:
oxy $ rarr $ oXY
$ rarr { ( x=X+2 ),( y=Y ):} $
sostituendo ottengo:
$ y=(x+2)^3 $ devo esprimere rispetto x, risolvendo ottengo $ x^3+6x^2+12x+8 $ .
utilizzo Ruffini ed ottengo:
$ (x^2+4x+4)(x-2)= $
risolvendo l'equazione di secondo grado ottengo x=-2
ottengo:
$ y=-2(x-2)=-2x+4 $
risolvo rispetto ad x.
$x=-1/2y+2$
l'integrale che devo considerare è il seguente:
$ pi int_(y1)^(y2)=(f(x))^2 $ = $ pi int_(y1)^(y2)(-1/2y+2)^2 $
è corretta l'impostazione?
Grazie!
seguendo l'esempio riportato in questo sito:https://www.****.it/forum/analisi-1/43944-calcolo-del-volume-generato-dalla-rotazione-attorno-ad-un-asse-orizzontale-o-verticale.html
cambio sistema di riferimento:
oxy $ rarr $ oXY
$ rarr { ( x=X+2 ),( y=Y ):} $
sostituendo ottengo:
$ y=(x+2)^3 $ devo esprimere rispetto x, risolvendo ottengo $ x^3+6x^2+12x+8 $ .
utilizzo Ruffini ed ottengo:
$ (x^2+4x+4)(x-2)= $
risolvendo l'equazione di secondo grado ottengo x=-2
ottengo:
$ y=-2(x-2)=-2x+4 $
risolvo rispetto ad x.
$x=-1/2y+2$
l'integrale che devo considerare è il seguente:
$ pi int_(y1)^(y2)=(f(x))^2 $ = $ pi int_(y1)^(y2)(-1/2y+2)^2 $
è corretta l'impostazione?
Grazie!
Risposte
Non ho capito cosa hai fatto con quel polinomio \((x+2)^3\). Perché Ruffini? Era già fattorizzato. Sospetto che tu sia arrivato a
\[
(x+2)^3=(x-2)(x^2+4x+4), \]
che è, chiaramente, falso. (Prova cosa succede per \(x=2\); il membro sinistro vale \(4^3\), il destro vale \(0\)).
\[
(x+2)^3=(x-2)(x^2+4x+4), \]
che è, chiaramente, falso. (Prova cosa succede per \(x=2\); il membro sinistro vale \(4^3\), il destro vale \(0\)).
Ciao cri98,
No, vedo diversi errori...
A parte il fatto che se $x = X + 2 $ casomai avrai $y = (X + 2)^3 \implies X = f(y) = root[3]{y} - 2 $, l'esercizio è del tutto analogo a quello che hai già proposto qui, con la differenza che nel caso in esame è anche più semplice perché non devi sottrarre alcunché, per cui puoi usare direttamente la formula seguente:
$ V = \pi \int_{c}^{d} [f(y)]^2 dy = \pi \int_{0}^{8} [f(y)]^2 dy $
"cri98":
è corretta l'impostazione?
No, vedo diversi errori...
A parte il fatto che se $x = X + 2 $ casomai avrai $y = (X + 2)^3 \implies X = f(y) = root[3]{y} - 2 $, l'esercizio è del tutto analogo a quello che hai già proposto qui, con la differenza che nel caso in esame è anche più semplice perché non devi sottrarre alcunché, per cui puoi usare direttamente la formula seguente:
$ V = \pi \int_{c}^{d} [f(y)]^2 dy = \pi \int_{0}^{8} [f(y)]^2 dy $
salve a tutti,
grazie per i vostri consigli e suggerimenti.
calcolando l'integrale ottengo come risultato $16/5 pi $
$ 3/5 root(3)(8^5)-3 root(3)(8^4)+32=16/5 $
domanda
come calcolo le radici senza utilizzare la calcolatrice?
c'è qualche proprietà che non ricordo?
Grazie!
grazie per i vostri consigli e suggerimenti.
calcolando l'integrale ottengo come risultato $16/5 pi $
$ 3/5 root(3)(8^5)-3 root(3)(8^4)+32=16/5 $
domanda
come calcolo le radici senza utilizzare la calcolatrice?
c'è qualche proprietà che non ricordo?
Grazie!
"cri98":
come calcolo le radici senza utilizzare la calcolatrice?
Beh, si ha:
$ root(3)(8^5) = root(3)(8^3 \cdot 8^2) = 8 root(3)(64) = 32 $
$ root(3)(8^4) = root(3)(8^3 \cdot 8) = 8 root(3)(8) = 16 $
Scrivi $ 3/5 root(3)(8^5)-3 root(3)(8^4)= 3/5 root(3)(8^3 \cdot 8^2)-3 root(3)(8^3 \cdot 8)$ ed applica le proprietà delle potenze.
grazie ragazzi!
@pilloeffe: non c'era ancora la tua risposta quando ho scritto, chiedo scusa per il doppione 
$ V = 2pi int_{-2}^{0} x(x+2)^2 dx=(16pi)/5$
Un giorno ci rivelerai perché odi i gusci cilindrici
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