Calcolo volume fra due solidi

[proficus]

Testo: Calcolare il volume del cilindroide circolare retto compreso fra il disco chiuso $ Omega = \{(x,y)\in \mathfrak{R}^2 | (x-1)^2+y^2 \leq1\} $ e l'emisfera $ x^2+y^2+z^2=4, z\geq0 $.

Ciao a tutti, dovrei risolvere questo esercizio di analisi 2.
Avevo pensato di risolverlo con le coordinate cilindriche;
Dall'equazione del disco mi risulta, dopo la sostituzione, $ r^2-2rcost\leq0 $ mentre quella dell'emisfera $ z^2+r^2=4 $.
Avrei impostato l'integrale triplo in questo modo: $ int_(0)^(2)r int _(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt(4-r^2) ) dz dt dr $
Risolvendolo mi risulta $ 2pi(8/3) $
Quasi sicuramente sbaglio gli estremi di integrazione ma non saprei dire dove commetto l'errore.
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
Enrico

[gio73]

Ciao Enrico, l'esercizio mi interessa ma non ci ho ancora messo la testa su, magari ci provo.
Questo messaggio rappresenta comunque un up, magari qualcuno mi precede... (conto su Sergeant Elias)

[Studente Anonimo]

Prima di tutto, un cordiale saluto a gio73.

Considerando che:

$\{(0 lt= z lt= sqrt(4-x^2-y^2)),(4-x^2-y^2 gt= 0),((x-1)^2+y^2 lt= 1):} rarr \{(0 lt= z lt= sqrt(4-x^2-y^2)),((x-1)^2+y^2 lt= 1):}$

si può procedere calcolando il seguente integrale:

$int_(\Omega)dxdyint _(0)^(sqrt(4-x^2-y^2))dz=int_(\Omega)dxdysqrt(4-x^2-y^2)$

che, mediante il cambiamento di variabili sottostante:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi):} rarr [0 lt= \rho lt= 2cos\phi] ^^ [-\pi/2 lt= \phi lt= \pi/2]$

si riduce a:

$int _(-\pi/2)^(\pi/2)d\phiint _(0)^(2cos\phi)d\rho\rhosqrt(4-\rho^2)=8/3int _(-\pi/2)^(\pi/2)d\phi(1-sin^3\phi)=8/3\pi$

[proficus]

Ciao, vi ringrazio innanzitutto per le risposte. Credo ci sia qualche errore perché i possibili risultati dell'esercizio sono:
A. $ pi/2 $
B. $ 16/3(pi/2-2/3) $
C. $ (2pi-3)/7 $
D. $ 4-pi/3 $
E. $ 3/4pi-2 $
resto in attesa di notizie

[Studente Anonimo]

Ho dimenticato colpevolmente un modulo:

$int _(-\pi/2)^(\pi/2)d\phiint _(0)^(2cos\phi)d\rho\rhosqrt(4-\rho^2)=8/3int _(-\pi/2)^(\pi/2)d\phi(1-|sin^3\phi|)=$

$=8/3\pi+8/3int _(-\pi/2)^(0)d\phisin^3\phi-8/3int _(0)^(\pi/2)d\phisin^3\phi=8/3\pi-16/3int _(0)^(\pi/2)d\phisin^3\phi=8/3\pi-32/9$

Per fortuna che avevi la soluzione.

[proficus]

Grazie mille, sei stato di grande aiuto. Alla prossima

[gio73]

grazie sergeant elias

[ot]PS hai letto il thread di mgrau "questioni di galateo" in generale?[/ot]

[Studente Anonimo]

Grazie a te per la fiducia (evidentemente mal riposta, visto come è andata).

[ot]Gli avevo dato un'occhiata. Per curiosità, perché avrei dovuto leggerlo? Non mi sembrava si riferisse, per puro caso, anche al sottoscritto. Ma magari mi sbaglio. [/ot]

[gio73]

[ot]no no
è che ti abbiamo ringraziato in due, così facciamo media con quelli che non ringraziano
Anyway, io non mi offendo se non ricevo riscontri[/ot]