Calcolo volume di un solido con integrali tripli
Buongiorno a tutti, ho problemi con il calcolo del volume del solido definito da questi vincoli
- [tex]x^2+y^2\leq 1[/tex]
- [tex]x^2+y^2+y\leq 0[/tex]
- [tex]0\leq z\leq 1-(x^2+y^2)[/tex]
Il primo vincolo mi rappresenta sul piano (x,y) un cerchio di raggio 1 e centro in (0,0), nel piano (x,y,z) diventa quindi un cilindro il cui centro corre lungo l'asse z.
Il terzo vincolo rappresenta un paraboloide rovesciato con vertice in (0,0,1) e sul piano z=0 coincide con la base del cilindro.
Sul secondo vincolo invece ho qualche dubbio su cosa possa essere, nel piano (x,y) mi risulta essere un cerchio di raggio 1/2 e centro in (0,-1/2), quindi nel piano (x,y,z) dovrebbe essere un cilindro.
Avevo pensato di svolgere un integrale per sezioni [tex]\int_{0}^{1-(x^2+y^2)} \iint_{D}\, dx\, dy \, dz[/tex] però mi si creava il problema che a integrale svolto mi rimanevano le variabili x e y (o comunque mi rimaneva [tex]\rho[/tex]).
Allora ho pensato di fare l'integrale per proiezioni [tex]\iint_{D}\,\int_{0}^{1-\rho^2 } \, dz \rho d\rho \, d\Theta[/tex] ma anche lì ho riscontrato difficoltà con gli estremi : ho chiamato [tex]\rho = \sqrt{x^2+y^2}[/tex] quindi avevo che la z mi variava tra 0 e [tex]1-\rho ^2[/tex], mentre D è l'insieme { [tex](x,y)\epsilon R^2 : x^2+y^2+y\leq 0[/tex] }. Arrivata qui mi sono bloccata perchè non so come far variare [tex]\rho[/tex].
Qualcuno sa come posso fare per calcolare questo volume?
grazie in anticipo
- [tex]x^2+y^2\leq 1[/tex]
- [tex]x^2+y^2+y\leq 0[/tex]
- [tex]0\leq z\leq 1-(x^2+y^2)[/tex]
Il primo vincolo mi rappresenta sul piano (x,y) un cerchio di raggio 1 e centro in (0,0), nel piano (x,y,z) diventa quindi un cilindro il cui centro corre lungo l'asse z.
Il terzo vincolo rappresenta un paraboloide rovesciato con vertice in (0,0,1) e sul piano z=0 coincide con la base del cilindro.
Sul secondo vincolo invece ho qualche dubbio su cosa possa essere, nel piano (x,y) mi risulta essere un cerchio di raggio 1/2 e centro in (0,-1/2), quindi nel piano (x,y,z) dovrebbe essere un cilindro.
Avevo pensato di svolgere un integrale per sezioni [tex]\int_{0}^{1-(x^2+y^2)} \iint_{D}\, dx\, dy \, dz[/tex] però mi si creava il problema che a integrale svolto mi rimanevano le variabili x e y (o comunque mi rimaneva [tex]\rho[/tex]).
Allora ho pensato di fare l'integrale per proiezioni [tex]\iint_{D}\,\int_{0}^{1-\rho^2 } \, dz \rho d\rho \, d\Theta[/tex] ma anche lì ho riscontrato difficoltà con gli estremi : ho chiamato [tex]\rho = \sqrt{x^2+y^2}[/tex] quindi avevo che la z mi variava tra 0 e [tex]1-\rho ^2[/tex], mentre D è l'insieme { [tex](x,y)\epsilon R^2 : x^2+y^2+y\leq 0[/tex] }. Arrivata qui mi sono bloccata perchè non so come far variare [tex]\rho[/tex].
Qualcuno sa come posso fare per calcolare questo volume?
grazie in anticipo
Risposte
Premessa: sono alle prese anch'io con Analisi 2, sono abbastanza sicuro sulla risoluzione di questo esercizio ma non prenderla per oro colato. Allora, se ho capito bene abbiamo un insieme:
$ Omega ={(x,y,z)inR^3:x^2+y^2<=1;x^2+y^2+y<=0;0<=z<=1-(x^2+y^2)} $
Passerei a coordinate cilindriche ovvero:
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosentheta ),( z=z ):} $
E quindi abbiamo $ rho^2<=1->0<=rho<=1 $
$ 0<=z<=1-rho^2 $
Per la seconda disequazione troviamo: $ rho^2+rhosentheta<=0->sentheta<=-rho $
$ -pi+arcsen(rho)<=theta<=-arcsen(rho) $ (VEDERE SOTTO)
Quindi abbiamo determinato l'insieme
$ Omega '={(rho,theta,z):0<=rho<=1;-pi+arcsen(rho)<=theta<=-arcsen(rho);0<=z<=1-rho^2} $
Calcoliamo quindi il nostro volume:
$ V_Omega=intint_(Omega)intdxdydz=int_(-pi+arcsen(rho))^(-arcsen(rho))d(theta)int_(0)^(1)drhoint_(0)^(1-rho^2)rdz=(pi^2)/(2)+(pi^4)/(4) $
Non ho riportato i calcoli, che comunque sono molto semplici.
$ Omega ={(x,y,z)inR^3:x^2+y^2<=1;x^2+y^2+y<=0;0<=z<=1-(x^2+y^2)} $
Passerei a coordinate cilindriche ovvero:
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosentheta ),( z=z ):} $
E quindi abbiamo $ rho^2<=1->0<=rho<=1 $
$ 0<=z<=1-rho^2 $
Per la seconda disequazione troviamo: $ rho^2+rhosentheta<=0->sentheta<=-rho $
$ -pi+arcsen(rho)<=theta<=-arcsen(rho) $ (VEDERE SOTTO)
Quindi abbiamo determinato l'insieme
$ Omega '={(rho,theta,z):0<=rho<=1;-pi+arcsen(rho)<=theta<=-arcsen(rho);0<=z<=1-rho^2} $
Calcoliamo quindi il nostro volume:
$ V_Omega=intint_(Omega)intdxdydz=int_(-pi+arcsen(rho))^(-arcsen(rho))d(theta)int_(0)^(1)drhoint_(0)^(1-rho^2)rdz=(pi^2)/(2)+(pi^4)/(4) $
Non ho riportato i calcoli, che comunque sono molto semplici.
"Trivroach":
Per la seconda disequazione troviamo: $ rho^2+rhosentheta<=0->sentheta<=-rho $
In base a quanto scritto prima mi pare chiaro che $ pi<=theta<=2pi $
Attento, $pi<=theta<=2pi$ è solo una condizione necessaria: ci sono punti come ad esempio $( -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$ che così apparterrebbero al dominio, ma che non soddisfano la disequazione che avevi prima. Prova a sistemare questo passaggio.
È vero.. Se $ 0<=rho<=1->-1<=-rho<=0 $ allora dev'essere $ sentheta<=-1<=-rho<=0 $
E se scrivessi $ 0<=theta<=-arcsen(rho) $ ? (arcoseno è una funzione dispari)
Però bisognerebbe vedere se è gestibile il dominio.
E se scrivessi $ 0<=theta<=-arcsen(rho) $ ? (arcoseno è una funzione dispari)
Però bisognerebbe vedere se è gestibile il dominio.
"Trivroach":
E se scrivessi $ 0<=theta<=-arcsen(rho) $ ?
Questa disequazione è impossibile perché l'ultimo membro è negativo! Quando hai una disequazione di questo tipo (seno o coseno da una parte e una costante dall'altra) ti conviene fare un disegno, o anche visualizzare mentalmente la situazione, per essere sicuro di non sbagliare: in questo caso hai $\sin \theta <= -\rho$, quindi devi prendere i punti della circonferenza che stanno sotto la retta $y=-\rho$, e conoscendo le limitazioni su $rho$ ottenute in precedenza sai già che ci saranno due "angoli limite", per la precisione $\arcsin(-rho)$ e $-pi-\arcsin(-rho)$: ricordando che l'arcoseno è sempre quello "a destra", un possibile intervallo è $-pi-\arcsin(-rho) <= theta <= \arcsin(-rho)$, che poi potrai riscrivere sfruttando il fatto che l'arcoseno è dispari.
PS: ma se invece...
Ok, comunque con la disequazione da te indicata l'integrale è risolvibile. Adesso modifico il messaggio di sopra.
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